如图,在边长为6的正三角形△ABC中,△APQ的边PQ在BC边上滑动且PQ=2,求△APQ三边的平方和的最大值和最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/26 22:54:17
如图,在边长为6的正三角形△ABC中,△APQ的边PQ在BC边上滑动且PQ=2,求△APQ三边的平方和的最大值和最小值
如图,在边长为6的正三角形△ABC中,△APQ的边PQ在BC边上滑动且PQ=2,求△APQ三边的平方和的最大值和最小值
如图,在边长为6的正三角形△ABC中,△APQ的边PQ在BC边上滑动且PQ=2,求△APQ三边的平方和的最大值和最小值
利用平行四边形两邻边平方和等于其对角线平方和的一半也等于对角线一半的平方和的二倍,后附证明
见图2
△APQ三边平方和=AP²+AQ²+PQ²,其中PQ²=4
如果以AP,AQ为邻边做平行四边形APDQ,则PQ是这个平行四边形的一条对角线,另外一条对角线是AD的中点O在BC边上,同时AO也是△APQ的中线,由于平行四边形两邻边平方和等于对角线平方和的一半
AP²+AQ²=(PQ²+AD²)/2=2(PO²+AO²) PO=PQ/2=1
所以△APQ三边平方和=2(PO²+AO²)+PQ²=2PO²+PQ²+2AO²=6+2AO²
随着P,Q两点在BC边上滑动,AO的长度随着变化,AO最短的时候为ABC底边上的高=3根号3
最长的时候为P点和B点重合的时候(Q点和C点重合也是一样的),这个时候BO=1,AO=根号31
所以△APQ三边平方和最大=6+2×31=68,最小=6+2×27=60
证明:平行四边形两邻边平方和等于对角线平方和,参考图1
RT△ABH中,AB²=AH²+BH²
RT△BCH中,BC²=BH²+CH²
RT△BOH中,BH²=BO²-OH²
AH=AO-OH CH=CO+OH AO=CO
AH²+CH²=(AO-OH)²+(CO+OH)²=AO²+CO²+2OH²
AB²+BC²=AH²+CH²+2BH²=AO²+CO²+2OH²+2(BO²-OH²)=2(AO²+BO²)=(AC²+BD²)/2
AO和BO是对角线的一半