自然数与实数有什么区别?

自然数与实数有什么区别?
自然数与实数有什么区别?

自然数与实数有什么区别?
自然数就是0和正整数.
实数是是无理数和有理数的总称

自然数是0、1、2、3……
实数是所有小数(包括整数、有限小数和无限小数)
所以实数包括自然数

自然数是不小于0的正整数，实数是有理数和无理数的总称，实数包括自然数。

自然数（natural number）
简单说就是大于等于零的整数。
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由1开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然...

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自然数（natural number）
简单说就是大于等于零的整数。
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由1开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基 数 。这样 ，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。目前，我国中小学教材教材将0归为自然数！详情请见http://www.pep.com.cn/
实数
shíshù
（一）数学名词。不存在虚数部分的复数，有理数和无理数的总称。
（二）真实的数字。【例】公司到底还有多少钱？请你告诉我实数！
实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括无限循环小数、整数。

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自然数:正整数
实数:正整数,负整数,小数(分数)...

数 包括 实数和虚数
实数包括整数和小数
整数包括 负整数 零 和正整数
而 自然数包括零 和正整数

自然数中没有无理数.分数.但实数中什么都包括.如整数.分数.正数.负数.无理数.等.

自然数 :简单说就是大于等于零的整数.
用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码1，2，3，4，……所表示的数。自然数由1开始，一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类。为了使数的系统有严密...

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自然数 :简单说就是大于等于零的整数.
用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码1，2，3，4，……所表示的数。自然数由1开始，一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论——自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤(归纳公理)N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/4282740.html
回答者：PETPET妹 - 见习魔法师 二级 3-13 19:13
实数:初中的时候，我们就学过实数的定义：有理数和无理数统称为实数。呵呵，事实上，可完全没有这么简单。事实上，从人类第一次发现无理数的存在到真正弄清楚什么是实数，中间过去了2000多年，那已经是19世纪末了，数学家意识到必须为微积分奠定一个坚实的逻辑起点了。这个逻辑上的起点就是关于实数的一些基本定理，这些定理第一次准确界定了实数的内涵。
在那之前很久，数学家们已经通晓了极限的运算，极限运算是微积分的基础，但是从来没有人去说明过极限运算是可行的，或者说在怎样一个范围内极限运算是可行的。举一个例子，在整数范围内乘法运算总是可以的，因为运算结果一定是整数，但除法运算就不可以了，如果你要讨论除法运算，你就必须在整个有理数的范围内进行。但在有理数的范围内，开方运算也是不行的，要进行开方运算，你必须在代数数的范围内。
那么，数学家和其它科学家已经广泛使用微积分的时候，自然有人会问，我们是在那个数集上进行极限运算的呢？会不会发生什么混乱呢？当然，人们愿意仍然把这个数集称为实数集，但现在的问题是，实数集里面应该有些什么，使得极限运算可以安全的进行？一般来说，人们会假定由所有小数组成的数集就是实数集。但会不会有用这些小数也表示不了的实数呢？
最后，柯西第一次解决了这个问题，用完备性公理作出了实数集和的明确的定义。他的做法是，作出所有的有理数的数列，然后把所有收敛的数列按极限相同的等价关系进行分类，最后把这些所有的类的集合定义为实数集（有理数集同构于它的一个子集，因此它确实是有理数集的一个扩充）。柯西论证了这个集合上进行极限运算是可以的，这就是实数集的完备性。
后来，戴德金用分割给出了实数完备性的另一个等价定义，并且证明了无限小数（把有限小数做成后面是9的循环小数）的集合满足完备性公理，因此说明了无限小数的集合就是实数集合。
至此，科学家们才松了一口气，继续放心的使用微积分。
回答者：skylhq - 见习魔法师 三级 3-20 16:20

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