高一三角函数难题sinα+sinβ=1/3,求sinα-(cosβ)^2的最大值.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 08:14:13
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高一三角函数难题sinα+sinβ=1/3,求sinα-(cosβ)^2的最大值.
高一三角函数难题
sinα+sinβ=1/3,求sinα-(cosβ)^2的最大值.

高一三角函数难题sinα+sinβ=1/3,求sinα-(cosβ)^2的最大值.
sinα+sinβ =1/3 求sinα-(cosβ)^2的最大值
sina=1/3-sinb
(cosb)^2=1-(sinb)^2
所以 sina-(cosb)^2
=1/3-sinb-[1-(sinb)^2]
=(sinb)^2-sinb-2/3
=(sinb-1/2)^2-1/4-2/3
=(sinb-1/2)^2-11/12
因为sina+sinb=1/3
而sina=-2/3
当sinb=-2/3时
(sinb-1/2)^2有最大值
所以最大值为
(-2/3-1/2)^2-11/12
=4/9

因为sinα+sinβ=1/3,故:sinβ=1/3-sinα
故:sinα-cos²β
=sinα-(1-sin²β)
= sinα-1+(1/3-sinα) ²
= sin²α+1/3 sinα-8/9
=(sinα+1/6) ²-11/12
因为-1≤sinα≤1
故:sinα=1时,sinα-cos²β有最大值,最大值为4/9

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