一道挺有意思的数学题如图,已知Rt△ABC,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,分别记△B
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 13:44:27
一道挺有意思的数学题如图,已知Rt△ABC,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,分别记△B
一道挺有意思的数学题
如图,已知Rt△ABC,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,分别记△BD1E1,△BD2E2,△BD3E3…,△BDnEn的面积为S1,S2,S3,…,Sn.则Sn＝ S△ABC（用含n的代数式表示）.
一道挺有意思的数学题如图,已知Rt△ABC,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,分别记△B
易知D1E1∥BC,∴△BD1E1与△CD1E1同底同高,面积相等,以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1= 12BC,CE1= 12AC,S1= 122S△ABC；
∴在△ACB中,D2为其重心,
∴D2E1= 13BE1,
∴D2E2= 13BC,CE2= 13AC,S2= 132S△ABC,
∴D3E3= 14BC,CE2= 14AC,S2= 142S△ABC…；
∴Sn= 1(n+1)2S△ABC．
还有一种方法,比较好理解.
S△BDnEn= 12S△DnEn•CEn
DnEn=D1E1•CEn• D1E1CE1,而D1E1= 12BC,CE1= 12AC
所以S△BDnEn= 12• 12BC• CEn12AC•CEn= 12BC•CEnAC•CEn= 12BC•AC[ CEnAC]2
=S△ABC•[ CEnAC]2
延长CD1至F使得D1F=CD1,所以ACBF为矩形．
CEnAC= DnEnAF= CEn-1CEn-1+BFAF= CEn-1CEn-1+AC
对于 CEnAC= CEn-1CEn-1+AC
两边均取倒数,所以有 ACCEn=1+ ACCEn
即是 ACCEn- ACCEn-1=1
ACCEn构成等差数列．
而 ACCE1=2,故 ACCEn=2+1•（n-1）=n+1
所以S△BDnEn=S△ABC•[[ CEnAC]2
则Sn= 1(n+1)2S△ABC