若x,y∈正实数,且√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a 的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/08 07:51:52
若x,y∈正实数,且√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a的最小值若x,y∈正实数,且√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a的最小值若x,y∈正实数,且√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a的最小值两

若x,y∈正实数,且√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a 的最小值
若x,y∈正实数,且√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a 的最小值

若x,y∈正实数,且√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求a 的最小值
两边平方得x+y+2√xy≤a﹙x﹢y﹚ 整理得﹙a-1﹚﹙x+y﹚≥2√xy 两边同除x+y a-1≥2√xy/x+y ∵x+y≥2√xy ∴2√xy/x+y≤1 即a-1≥1 因为a∈正实数 ∴a≥√2

显然不等式两边都大于0 平方后: x+y+2√xy≤a^2(x+y) 整理下:(a^2-2)(x+y)+x+y-2√x≥0 (a^2-2)(x+y)+(√x-√y)^2≥0 若恒成立,显然需要满足(a^2-2)(x+y)≥0 即a^2-2≥0 a显然是非负数 所以a≥根号2 a的最小值就是根号2