什么是“裂项法”?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 11:22:46
什么是“裂项法”?什么是“裂项法”?什么是“裂项法”?这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（
什么是“裂项法”?
什么是“裂项法”?
什么是“裂项法”?
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）
（1）1/[n(n 1)]=1/n-1/(n 1)
（2）1/[(2n-1)(2n 1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n 1)]
（3）1/[n(n 1)(n 2)]=1/2{1/[n(n 1)]-1/[(n 1)(n 2)]}
（4）1/(√a √b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n 1)!-n!
（6）1/[n(n k)]=1/k[1/n-1/(n k)]【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n 1) 的前n项和.
an=1/n(n 1)=1/n-1/(n 1) （裂项）
则 Sn=1-1/2 1/2-1/3 1/3-1/4… 1/n-1/(n 1)（裂项求和）
= 1-1/(n 1)
= n/(n 1)
【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n 1) 的前n项和.
an=n(n 1)=[n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)]/3（裂项）
则 Sn=[1×2×3-0×1×2 2×3×4-1×2×3 …… n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)]/3（裂项求和）
= [n(n 1)(n 2)]/3
【例3】1/(1×4) 1/(4×7) 1/(7×10) …… 1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数.
原式=1/3 *[（1-1/4） （1/4-1/7） （1/7-1/10） …… （1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94