什么是有理数,什么是无理数

什么是有理数,什么是无理数
什么是有理数,什么是无理数

什么是有理数,什么是无理数
有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数.包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数.这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用.
如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.
有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0.
全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.
有理数集是实数集的子集.相关的内容见数系的扩张.
有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算（0作除数除外）,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0,使 0+a=a+0=a；
④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba；
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0,使得对任意有理数a,1a=a1=a；
⑨对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1.
此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.
有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.
值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理.
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,即无限不循环小数. 如圆周率、2的平方根等.
·无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数,

比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,

比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”.本来嘛,无理数并不是不讲道理,只是人们最初对它不太了解罢了.

利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数.
证明：假设√2不是无理数,而是有理数.
既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：

√2=p/q
又由于p和q有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为既约分数.
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数,p 必定为偶数,设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数,设q=2n
既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是既约分数矛盾.这个矛盾是有假设√2是有理数引起的.因此√2是无理数.
毕达哥拉斯大约生于公元前580年至公元前500年,从小就很聪明,一次他背着柴禾从街上走过,一位长者见他捆柴的方法与别人不同,便说：“这孩子有数学奇才,将来会成为一个大学者.”他闻听此言,便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学.毕达哥拉斯本来就极聪明,经泰勒一指点,许多数学难题在他的手下便迎刃而解.其中,他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地,则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满,还证明了世界上只有五种正多面体,即：正4、6、8、12、20面体.他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数,直到毕达哥拉斯数.然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理）,即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积.据说,这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地,经常要计算面积,于是便发明了此法.
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界.经过一番刻苦实践,他提出“凡物皆数”的观点,数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序.毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会.在他死后大约500年间,他的门徒们把这种理论加以研究发展,形成了一个强大的毕达哥拉斯学派.
一天,学派的成员们刚开完一个学术讨论会,正坐着游船出来领略山水风光,以驱散一天的疲劳.这天,风和日丽,海风轻轻的吹,荡起层层波浪,大家心里很高兴.一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点都不错.你们看这海浪一层一层,波峰浪谷,就好像奇数、偶数相间一样.世界就是数字的秩序.”“是的,是的.”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧.用小船去量海水,肯定能得出一个精确的数字.一切事物之间都是可以用数字互相表示的.”
“我看不一定.”这时船尾的一个学者突然提问了,他沉静地说：“要是量到最后,不是整数呢?”
“那就是小数.”“要是小数既除不尽,又不能循环呢?”
“不可能,世界上的一切东西,都可以相互用数字直接准确地表达出来.”
这时,那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示,就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧,假如是等腰直角三角形,你就无法用一个直角边准确地量出斜边来.”
这个提问的学者叫希帕索斯,他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家.今天要不是因为争论,还不想发表自己这个新见解呢.那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能,先生的理论置之四海皆准.”希帕索斯眨了眨聪明的大眼,伸出两手,用两个虎口比成一个等腰直角三角形说：
“如果直边是3,斜边是几?”
“4.”
“再准确些?”
“4.2.”
“再准确些?”
“4.24.”
“再准确些呢?”
大个子的脸涨得绯红,一时答不上来.希帕索斯说：“你就再往后数上10位、20位也不能算是最精确的.我演算了很多次,任何等腰直角三角形的一边与余边,都不能用一个精确的数字表示出来.”这话像一声晴天霹雳,全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论,敢破坏我们学派的信条!敢不相信数字就是世界!”希帕索斯这时十分冷静,他说：“我这是个新的发现,就是毕达哥拉斯先生在世也会奖赏我的.你们可以随时去验证.”可是人们不听他的解释,愤怒地喊着：“叛逆!先生的不肖门徒.”“打死他!批死他!”大胡子冲上来,当胸给了他一拳.希帕索斯抗议着：“你们无视科学,你们竟这样无理!”“捍卫学派的信条永远有理.”这时大个子也冲了过来,猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧!”说着就把希帕索斯扔进了海里.蓝色的海水很快淹没了他的躯体,再也没有出来.这时,天空飘过几朵白云,海面掠过几只水鸟,一场风波过后,这地中海海滨又显得那样宁静了.
一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了.但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值.这次事件后,毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边,而且圆的直径也无法去量尽圆周,那个数字是3.14159265358979……更是永远也无法精确.慢慢地,他们感觉后悔了,后悔杀死希帕索斯的无理行动.他们渐渐明白了,明白了直觉并不是绝对可靠的,有的东西必须靠科学的证明；他们明白了,过去他们所认识的数字“0”,自然数等有理数之外,还有一些无限的不能循环的小数,这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”.这个名字反映了数学的本来面貌,但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮横无理.
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.1872年,德国数学家载德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.

有理数：分数和整数（不管是正是负）。也就是说有理数都可以写成小数形式，它是一个有限小数或无限循环小数。
无理数：无限不循环小数。

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数
整数和分数统称为有理数
数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογος ，原意为“成比例的数”(ratio...

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无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数
整数和分数统称为有理数
数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。

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