证明：一四面体的两条相对棱的长分别是a,b,它们的距离为d,所成的角为α,那么它的体积为V=abd sinα /6怎么证明 急 急
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:51:37
证明：一四面体的两条相对棱的长分别是a,b,它们的距离为d,所成的角为α,那么它的体积为V=abd sinα /6怎么证明 急 急
证明：一四面体的两条相对棱的长分别是a,b,它们的距离为d,所成的角为α,那么它的体积为V=abd sinα /6
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证明：如图 过B作BE//==CD,连结AE,DE,则ACDE是平行四边形,∠ABE=α或π-α
AB=a,CD=BE=b,S△ABE=0.5ab sinα
C到平面ABE的距离=AB与CD的距离d
所以V（A-BCD）=V（A-BCE）=V(C-ABE)=1/3*0.5ab sinα *d=abd sinα /6
作线段CD连接两条棱a,b，使得该线段垂直于两条棱,则CD长度为d,C和相对棱A两个顶点构成三角形面积为ad/2
过C做b棱的垂面，则垂面被四面体割出的三角形是上述三角形在垂面上的投影。因为前述三角形和垂面夹角为PI/2-a,所以垂面所在的投影面积为ad/2 * cos(PI/2-a) = adsina/2
四面体体积等于b * S垂/3=abd sina /6(根据棱椎体积公式...
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作线段CD连接两条棱a,b，使得该线段垂直于两条棱,则CD长度为d,C和相对棱A两个顶点构成三角形面积为ad/2
过C做b棱的垂面，则垂面被四面体割出的三角形是上述三角形在垂面上的投影。因为前述三角形和垂面夹角为PI/2-a,所以垂面所在的投影面积为ad/2 * cos(PI/2-a) = adsina/2
四面体体积等于b * S垂/3=abd sina /6(根据棱椎体积公式
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先看一个特殊的情况：ABCD-A′B′C′D′是平行六面体，四个侧面都是矩形，底面是平行四边形。设AB=a， BC=b，∠ABC=α，BB′=d，则这个平行六面体的体积为abcsinα，沿ABC′D′把这个平行六面体一分为二，则三棱柱AA′D′-BB′C′的体积为abcsinα/2，再沿AB′C′把这个三棱柱分成一个四面体（或叫三棱锥）A-BB′C′和一个四棱锥A-A′B′C′D′，则四棱锥A-A′B′C′D′的体积为abcsinα/3，所以四面体（或叫三棱锥）A-BB′C′的体积为V=abcsinα/2- abcsinα/3= abcsinα/6。一般情况可仿照这个方法推导出类似的结果。