在三角形abc中,ab=ac,延长ca到p在△ABC中,AB=AC,延长CA到P,再延长AB到Q,使得AP=BQ,求证△ABC的外心O与A,P,Q,四点共圆.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 14:00:51
在三角形abc中,ab=ac,延长ca到p在△ABC中,AB=AC,延长CA到P,再延长AB到Q,使得AP=BQ,求证△ABC的外心O与A,P,Q,四点共圆.
在三角形abc中,ab=ac,延长ca到p
在△ABC中,AB=AC,延长CA到P,再延长AB到Q,使得AP=BQ,求证△ABC的外心O与A,P,Q,四点共圆.
在三角形abc中,ab=ac,延长ca到p在△ABC中,AB=AC,延长CA到P,再延长AB到Q,使得AP=BQ,求证△ABC的外心O与A,P,Q,四点共圆.
解析,
连接PO,CO,AO,QO,
AB=AC,BQ=AP,
故,PC=AQ,
O是外心,故,AO=CO,
即是,∠OAC=∠OCA,
又△ABC是等腰三角形,且AB=AC,那么外心O点一定在∠BAC的平分线上.
即是,∠OAQ=∠OAC,
因此,∠OAQ=∠ACO,
故,△AOQ≌△POC,
因此,∠APO=∠AQO,
根据四点共圆的性质：
【把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆． 】
那么,O,A,P,Q四点共圆.
分析一、O是外心，作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ。易知OE=OF，BE=AF，从而Rt△OPF≌Rt△OQE，于是∠P=∠Q，从而O、A、P、Q四点共圆。
分析二、延长BA至G，使AG=AP，连接OP、OA、OG、OQ，并作OE⊥AB于E(图略)。利用△PAO≌△PGO和△QEO≌△GEO也可证得结论。= =网上的看不懂......
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分析一、O是外心，作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ。易知OE=OF，BE=AF，从而Rt△OPF≌Rt△OQE，于是∠P=∠Q，从而O、A、P、Q四点共圆。
分析二、延长BA至G，使AG=AP，连接OP、OA、OG、OQ，并作OE⊥AB于E(图略)。利用△PAO≌△PGO和△QEO≌△GEO也可证得结论。
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