帮帮忙f(x)=e^x,g(x)=lnx.求证g(X)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 05:39:13
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第一部分从图像看是很显然的结果,所以有很多办法.这里给一个.
设p(x)=x-g(x)=x-lnx,则p'(x)=1-1/x,p''(x)=1/x^2.当p'(x)=0时,x=1,p''(x)>0.所以此处有p(x)的最小值1-ln1=1>0.所以p(x)恒大于零,即x>lnx.同样可证另外一个不等式.或者两边同时取幂.
第二部分直线的斜率为(f(x1)-g(x2))/(x1-x2)=e^x1=1/x2.为了方便,下面用a=x1,b=lnx2.
则 (e^a-b)/(a-e^b)=e^a=e^-b,后面一半等式得到a=-b,代入前面一半消b,得到(e^a+a)/(a-e^-a)=e^a,整理,e^a=(a+1)/(a-1).因为e^a恒大于0,所以a-1>0,a>1,即x1>1.