变分法习题 在所有经过（0,0）和（1,1）的抛物线中,确定一个抛物线,满足,绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小体积.答好了追加200分.还有最后答案我知道 答案是y=1/2(5x^2-3x) 就这些分了 积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 14:01:42
变分法习题 在所有经过（0,0）和（1,1）的抛物线中,确定一个抛物线,满足,绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小体积.答好了追加200分.还有最后答案我知道 答案是y=1/2(5x^2-3x) 就这些分了 积分
变分法习题
在所有经过（0,0）和（1,1）的抛物线中,确定一个抛物线,满足,绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小体积.
答好了追加200分.
还有最后答案我知道 答案是y=1/2(5x^2-3x) 就这些分了 积分我明白抛物线公式 我也知道应该是 y=x+cx(1-x) ,C是怎么确定的啊。
变分法习题 在所有经过（0,0）和（1,1）的抛物线中,确定一个抛物线,满足,绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小体积.答好了追加200分.还有最后答案我知道 答案是y=1/2(5x^2-3x) 就这些分了 积分
参考答案：y=2.5x^2-1.5x,可惜没公式编辑器打不出来积分那些公式.
用积分公式,设抛物线是f（x）=ax^2+(1-a)x,再用体积公式,得,V=π乘以在0到1上f（x）平方的积分,整理得：V=π*（a^2/5+(1-a)^2/3+a*(1-a)/2）=π*(a^2-5a)/30+π/3=π*(a-2.5)^2/30+π/8当a=2.5时V最小,所以抛物线方程得到为y=2.5x^2-1.5x
严谨点的话应该讨论x=ay^2+(1-a)y的体积然后和上面的作比较,最后得到的答案无意义,我也不知道怎么解释好,大概是这种情况下f（x）不唯一所以无法积分或者说积分无意义,综上大体如此了
y^2=x
比较复杂
基本做法就是把体积写成关于C的函数V=V(C)，然后通过解V'(C)=0来求出极值点，过程楼上已经写了。
很多变分问题都是这个路子，把参量从函数转化为数或向量，然后就化成数学分析里面能解决的极值问题了。
另外给楼上一些建议，关于“严谨”的。
1.平面上的抛物线还有对称轴不平行于坐标轴的，出题人没有考虑，你也不必考虑太多，要严谨的话仅考虑y=f(x)型和x=g(y)型也是不够...
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基本做法就是把体积写成关于C的函数V=V(C)，然后通过解V'(C)=0来求出极值点，过程楼上已经写了。
很多变分问题都是这个路子，把参量从函数转化为数或向量，然后就化成数学分析里面能解决的极值问题了。
另外给楼上一些建议，关于“严谨”的。
1.平面上的抛物线还有对称轴不平行于坐标轴的，出题人没有考虑，你也不必考虑太多，要严谨的话仅考虑y=f(x)型和x=g(y)型也是不够的。
2.对于x=g(y)，积分不应该是无意义的，大不了对两个单值支分别算，你有兴趣的话重新去算算。
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