多元微分定义求解答全增量-线性增量=0不就行了 为什么还要比上两点间的长度呀

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 02:21:27
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多元微分定义求解答

全增量-线性增量=0不就行了  为什么还要比上两点间的长度呀

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多元函数可微的要求是Δz-AΔx-BΔy是比√[(Δx)^2+(Δy)^2]更高阶的无穷小量,而全增量与线性增量只差的极限等于0是保证不了可微的,因为如果A和B（其实就是z=f(x,y)在(x0,y0)点的两个偏导数）在点(x0,y0)的某个邻域内是有界的,则一定有lim(AΔx+BΔy)=0（根据无穷小与有界量的乘积为无穷小）,于是你说的条件就变为lim(Δz-AΔx-BΔy)=limΔz=0,而这是函数z=f(x,y)在(x0,y0)点连续的定义.现在问题转化为,函数在(x0,y0)点连续,并且偏导数在该点的某邻域内有界,能不能推出函数在该点可微?答案是不能,例如函数f(x,y)=xy/√(x^2+y^2) (x,y)≠(0,0)
=0 (x,y)=(0,0)
你可以自己证明一下,这个函数原点连续,偏导数有界,但是不可微.

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