已知二次函数y=x平方+ax+a-2.若此二次函数图像与x轴交于A、B两点,在函数图像上是否存在点P,使得△PAB的面积为2分之（3乘根号13）?若存在求出P点坐标；若不存在请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 22:18:34
已知二次函数y=x平方+ax+a-2.若此二次函数图像与x轴交于A、B两点,在函数图像上是否存在点P,使得△PAB的面积为2分之（3乘根号13）?若存在求出P点坐标；若不存在请说明理由.
已知二次函数y=x平方+ax+a-2.
若此二次函数图像与x轴交于A、B两点,在函数图像上是否存在点P,使得△PAB的面积为2分之（3乘根号13）?若存在求出P点坐标；若不存在请说明理由.
已知二次函数y=x平方+ax+a-2.若此二次函数图像与x轴交于A、B两点,在函数图像上是否存在点P,使得△PAB的面积为2分之（3乘根号13）?若存在求出P点坐标；若不存在请说明理由.
我刚刚回答过 ∵△=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0,
∴不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根．
设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根,则x1+x2=-a,x1•x2=a-2,
∵两交点的距离是13,
∴|x1-x2|=(x1-x2)2=13．
即：（x1-x2）2=13,
变形为：（x1+x2）2-4x1•x2=13,
∴（-a）2-4（a-2）=13,
整理得：（a-5）（a+1）=0,
解方程得：a=5或-1,
又∵a＜0,
∴a=-1,
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3．
设点P的坐标为（x0,y0）,
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于13,
∴AB=13,
∴S△PAB=12AB•|y0|=132,
∴13|y0|2=132
即：|y0|=3,
解得：y0=±3,
当y0=3时,x02-x0-3=3,即（x0-3）（x0+2）=0,
解此方程得：x0=-2或3,
当y0=-3时,x02-x0-3=-3,即x0（x0-1）=0,
解此方程得：x0=0或1,
综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是（-2,3）或（3,3）或（0,-3）或（1,-3）．
若a<0时，设m、n是方程x2+ax+a-2=0的两个根，据韦达定理有：
m+n=-a mn=a-2
又因为：|m-n|=根号13 所以（m-n)2=13 即有：（m+n)2-4mn=13
故得方程：（-a)2-4(a-2)=13
解此关于a的方程得：a=5(不符合题意舍去）或a=-3 所以所求解析式为：
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若a<0时，设m、n是方程x2+ax+a-2=0的两个根，据韦达定理有：
m+n=-a mn=a-2
又因为：|m-n|=根号13 所以（m-n)2=13 即有：（m+n)2-4mn=13
故得方程：（-a)2-4(a-2)=13
解此关于a的方程得：a=5(不符合题意舍去）或a=-3 所以所求解析式为：
y=x2-3x-5
设函数 y=x2-3x-5存在点P，故设其坐标为（x,y)
又因为：|AB|=根号13，且S△PAB=|AB|.|y|=3倍根号13
所以得方程：根号13|y|=3倍根号13
即：|y|=3 解此方程得：y1=3 ,y2=-3(因为y的最小值为-41/4，故y2=-3有意义）
然后把y1=3 ,y2=-3分别代入函数解析式y=x2-3x-5中，求得横坐标：
当y1=3时有方程：x2-3x-5=3 解得x1=(3+根号41)/2 ,x2=(3-根号41)/2
当y2=-3时由方程：x2-3x-5=3 解得x3==(3+根号17)/2 ,x4=(3-根号17)/2
所以，所求点P有四个点，起坐标分别为：
P1((3+根号41)/2,3)
P2(=(3-根号41)/2,3)
P3((3+根号17)/2,-3)
P3((3-根号17)/2,-3)
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