什么是傅立叶变换?为什么要进行傅立叶变换?一些回忆

什么是傅立叶变换?为什么要进行傅立叶变换?一些回忆
什么是傅立叶变换?为什么要进行傅立叶变换?一些回忆

什么是傅立叶变换?为什么要进行傅立叶变换?一些回忆
今天的现代通信网课上讲到傅立叶变换,老师翻出了一些以前信号系统和通信原理课本里的概念和公式,突然感到既熟悉又陌生.也难怪,原本读研之前一直以为今后就会和这些东西说再见,而彻底地投入计算机和网络的世界中,以至于开学来苏州这边的时候,本科的教材一本都没带过来.如今突然再次用到,多少感慨涌入心头,又怀念起以前大二时盯着一本书的公式发呆的日子,毋庸置疑,信号与系统（Signals and Systems）这门课绝对是信息类专业的核心课程（没有之一.）有些同学可能会提通信原理,但是如果没有信号系统这门课作为支撑,那么通信原理就好像盖楼只用混凝土不用钢筋一样,空有内容,搭不起一个知识体系.而傅立叶变换自然就是其核心内容了.由于手头没有书,这里只是凭借记忆和网上搜到的内容,写下我对傅立叶变换的一些学习体会,具体的内容以后还会陆续补充.希望能给没有学习过信号系统这门课的同学一些小小的帮助.（其实我也搞不懂现代通信网这门课怎么给这老师讲成了通信原理,所以写这些东西,主要是方便大家加深对这些概念的理解吧.） 记得当年的任课老师有一句口头禅：信号系统改变了我们的世界观.当然这有些夸张,但是从某些角度来说,并非毫无道理.我们平常接触的世界是一个可感知的世界,很多事物都可以由包含时间这一维度的某个函数来表示.如股票价格的涨跌,就是一个普通的函数f(t),其中t表示时间.同理,声音也可以用这个函数反映出其强度随时间的变化；另外,在离散信号中,如一幅图像,是一个二维信号f(x,y),这里的自变量x,y类似于上文的t,只不过由一维扩展到二维,由一个连续的时间变成了一串离散的序列.总而言之,现实世界中我们直观上看到信号,都可以称为“时域”信号.信号系统这门课的贡献就是,它为我们展现了一种新的观察世界的角度,即“频域”.频域的度量称为频谱,频谱的横坐标为频率w(对应于上文的t),纵坐标就是频谱值.那么怎样实现从时域到频域的变换?大名鼎鼎的傅立叶变换(Fourier Transform)就是一种方法.傅立叶变换公式如下：（*） 其中,w为频率,函数F(w)为频谱.傅立叶变换建立了从时域到频域的映射.这里暂时不详细介绍公式,先看它的由来.傅立叶,法国人,数学家,物理学家.1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文,推导出著名的热传导方程,并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的形式表示,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数（即三角级数)、傅立叶分析等理论均由此创始.在分析傅立叶变换之前,先引出复信号的概念.大家都知道复数包括实数和虚数,一个复数总可以表示成x=a+bj(j为虚单位).同理,信号也分实虚,实信号即是平常看得见摸得着的信号,引入虚的概念后,就可以将复信号解释清楚了.回到刚才的问题,实际上傅立叶变换建立的是“复”频域与时域的联系.上文说过,傅立叶发现任何一个函数f(t)都可以用很多个三角函数的和（**） 表示,其中w是三角函数的角频率.另外,这个表示方法是一定的,即总能找到,并且能严格逼近.为什么说傅立叶变换建立了复频域和时域的联系?频域有和上面的三角函数又有什么联系?难道只是因为cos(wt)中的w名字叫做频率吗?显然不是.根据欧拉公式,其中,w是角频率,j是虚数单位.带入上文公式（**）,于是傅立叶的这个发现就可以解释通了：任何一个时域的函数f(t),都可以表示成很多个复指数 、的和的形式,w恰好就是频谱中的频率.这样,傅立叶变换便建立了时域和复频域的联系.将coswt和sinwt的公式带入傅立叶变换的定义式（*）,即可得到cos(Wt)的频谱为F(w)=pi*[sigma(w-W)+sigma(w+W)];即是频谱两边对称的两个冲击信号.这也是为什么原信号乘以正弦信号之后就可以被调制成高频信号.上文（*）公式给出的傅立叶变换是连续时间傅立叶变换,而严格意义上的傅立叶变换分为几种形式（CFS,CTFT,DFS,DTFT）,每一种对应的情况都不相同,公式也不一样,这里不再一一介绍.
再说说为什么要进行傅立叶变换.举个例子,比如压缩电影、压缩照片,利用的就是人眼对某些频带以外的信号频谱反应不敏感的原理.将数据进行傅立叶变换,用滤波器过滤掉相对来说对人眼无用的高频和低频部分,就可以保证在不影响整体效果的情况下,最大程度地压缩图像数据.不难想象,如果在时域上裁剪出这些数据的一部分,那数据的完整性将根本无法保证,比如将照片减去一半或是将影片头尾剪辑掉之类.然而在频域上的裁剪却可以大体上保证数据的质量,这正是频域的奇妙之处,它给我们提供了从另一个角度看世界的方法.