递推公式A(n+1)=(An)^2+An A1=2 求通项公式

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/22 08:54:26

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递推公式A(n+1)=(An)^2+An A1=2 求通项公式
答案： An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法.这个没什么可说.
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n, 令 An=n!bn, 代入,得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n, b1=0, b2=1/2.
所以,bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!, An=n!bn等于上式.
思路三：这个公式是错置排列的公式.所谓错置排列,有一个通俗的说法.n 个人, 每人有一顶自己的帽子. An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目.显然 A1=0 （一个人不可能戴错), A2=1.对n>2的情况,第 n 个人的帽子必然戴到某个第 i 人头上,i=1,2,..., n-1, 这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上,则其余 n-2 个人要互相戴错,共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上,此时共有 A(n-1)种戴法. 总之,我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)), n>2. 而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上,所以必然有An等于上面的数.

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