在三角形ABC中,AB=AC,AD和BE都是高,它们相交于点H,且AH=2BD,求证：AE=BE.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:44:48
在三角形ABC中,AB=AC,AD和BE都是高,它们相交于点H,且AH=2BD,求证：AE=BE.
在三角形ABC中,AB=AC,AD和BE都是高,它们相交于点H,且AH=2BD,求证：AE=BE.
在三角形ABC中,AB=AC,AD和BE都是高,它们相交于点H,且AH=2BD,求证：AE=BE.
已知：如图△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们交于点H,且AE=BE,求证：AH=2BD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,则BC=2BD,又∵BE是高,所以,∠AEH=∠BEC=90°,∠HAE+∠AHE=∠DAC+∠C,所以,∠AHE=∠C,所以,△AHE≌△BCE,则AH=BC,即AH=2BD．证明：∵在△ABC中,AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,AD是底边上的高,
∴BC=2BD,
又∵BE是高,
∴∠AEH=∠BEC=90°,
则∠DAC+∠AHE=∠DAC+∠C=90°,
∴∠AHE=∠C,
在△AHE和△BCE中,
∠AHE=∠C∠AEH=∠BECAE=BE,
∴△AHE≌△BCE（AAS）,
∴AH=BC,又BC=2BD,
∴AH=2BD．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质,证明两个三角形全等,是证明线段或角相等的重要工具；在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件．
证明：∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
又∵AD是BC边上的高
∴BD=CD
∵AH=2BD
∴AH=2BD=BD+CD=BC
∵∠ACB+∠CAD=90° （互余）
∠AHE+∠CAD=90°（同上原因）
∴∠ACB=∠AHE
∴在Rt△AHE和Rt△BCE中
（括号）AH=BC ,∠ACB=∠AHE
∴Rt△AHE≌Rt△BCE（HL）
∴AE=BE