已知a、b、c的倒数成等差数列,求证:a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数也成等差数列.我看了眼睛都花了，这么繁
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 17:42:59
已知a、b、c的倒数成等差数列,求证:a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数也成等差数列.我看了眼睛都花了，这么繁
已知a、b、c的倒数成等差数列,求证:
a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数也成等差数列.
我看了眼睛都花了，这么繁
已知a、b、c的倒数成等差数列,求证:a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数也成等差数列.我看了眼睛都花了，这么繁
a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数即：
(b+c-a)/a,(c+a-b)/b,(a+b-c)/c
其中：(b+c-a)/a＋(a+b-c)/c＝b/a+c/a+a/c+b/c-2 （1）
a、b、c的倒数成等差数列,所以：1/a+1/c=2/b
即：b/a+b/c=2 （2） 或者b＝2/（1/a+1/c）（3）
（2）代入（1）得：
(b+c-a)/a＋(a+b-c)/c＝b/a+c/a+a/c+b/c-2＝c/a+a/c
而b/(c+a-b)的倒数(c+a-b)/b＝（c+a）/b－1＝（c+a）/ 2/（1/a+1/c）－1
＝（c+a）×（1/a+1/c）/2－1＝（c/a+a/c）/2 ｛（3）代入的结果｝
显然有2×(c+a-b)/b＝(b+c-a)/a＋(a+b-c)/c
即a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数也成等差数列
∵1／a,1／b,1／c是等差数列
∴a+b+c／a,a+b+c／b,a+b+c／c也是等差数列
即（b+c／a）+1，（a+c／b）+1，（a+b／c）+1是等差数列
即（b+c／a）-2，（a+c／b）-2，（a+b／c）-2是等差数列
即(b+c-a)／a,(c+a-b)／b,(a+b-c)／c是等差数列
即a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/...
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∵1／a,1／b,1／c是等差数列
∴a+b+c／a,a+b+c／b,a+b+c／c也是等差数列
即（b+c／a）+1，（a+c／b）+1，（a+b／c）+1是等差数列
即（b+c／a）-2，（a+c／b）-2，（a+b／c）-2是等差数列
即(b+c-a)／a,(c+a-b)／b,(a+b-c)／c是等差数列
即a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数成等差数列
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