△ABC的三边a b c 的倒数成等差数列,求证 B小于π/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 17:50:56
△ABC的三边a b c 的倒数成等差数列,求证 B小于π/2
△ABC的三边a b c 的倒数成等差数列,求证 B小于π/2
△ABC的三边a b c 的倒数成等差数列,求证 B小于π/2
2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac
2ac=b(a+c)
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
(a-c)^2>=0
所以a^2+c^2-2ac>=0
a^2+c^2>=2ac=b(a+c)
三角形两边之和大于第三边
所以a+c>b
b(a+c)>b^2
所以a^2+c^2>b^2
所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac>0
所以B小于π/2
您好，我应该算是你的学姐吧，应为我是大一的学生，我想说的是， 数学题不是靠这样解答出来的，数学要想学起来很简单，只要学，我敢保证有你考150分的时候！
这道题我不想给你答题步骤，应为那样做就是阻断你的思维，不是吗？
因为是等差数列，所以2b=a+c 再根据正弦定理和余弦定理，然后再根据，B大于零且小于3.14的，这样既可解答！...
全部展开
您好，我应该算是你的学姐吧，应为我是大一的学生，我想说的是， 数学题不是靠这样解答出来的，数学要想学起来很简单，只要学，我敢保证有你考150分的时候！
这道题我不想给你答题步骤，应为那样做就是阻断你的思维，不是吗？
因为是等差数列，所以2b=a+c 再根据正弦定理和余弦定理，然后再根据，B大于零且小于3.14的，这样既可解答！
收起
这题比较好证，更通常会出现在高考的情况是证明B小于π/3，而也可得到你要的结果，不过我觉得掌握证明π/3更重要
由已知得1/a+1/c=2/b
有正弦定理可知上式中a可用sinA代替，b,c同理
可以得到1/sinA+1/sinC=2/sinB
右边用不等式放缩掉，即1/sinA+1/sinC >= 2/根号下（sinA*sinC）
整理得到sinB的平方 ...
全部展开
这题比较好证，更通常会出现在高考的情况是证明B小于π/3，而也可得到你要的结果，不过我觉得掌握证明π/3更重要
由已知得1/a+1/c=2/b
有正弦定理可知上式中a可用sinA代替，b,c同理
可以得到1/sinA+1/sinC=2/sinB
右边用不等式放缩掉，即1/sinA+1/sinC >= 2/根号下（sinA*sinC）
整理得到sinB的平方 <= sinA*sinC
sinA*sinC用积化和差的方法代换掉：
2*sinA*sinC = cos(A-C)-cos(A+C) = cos(A-C)+cos(B)
这样就有 2*sinB的平方 <= cos(A-C)+cosB，即2(sinB)^2<=cos(A-C)+cosB……这是基础式
由于AC两个角的大小关系是任意的，我们不妨设A>=C
由于A+C=π-B，所以可以得到0 <= A-C < π-B，这是极限的放缩
所以-cosB < cos(A-C) <= 1
现在把所有的条件都带入基础式
得到2X^2+X-1>=0，其中的X就是cosB
解出X<=-1（显然不成立）或者X〉=0.5
所以B<π/3
你以后应该会碰到这种题目
收起