请问如何证明三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 01:27:53
请问如何证明三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半
请问如何证明三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半
请问如何证明三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半
本题不画图,还真不容易说清楚,我们试试吧!
将矩形的边向两边延长,有八只脚.三角形只三个边,必有一边交三脚,三脚中,必有一对平行者.由此出发,通过“作平行线或垂线”的方法,总可以在不变小面积的条件下,通过矩形或平行四边形,把原矩形换为一个新矩形,其一边在三角形一边上,另两个顶点分别在三角形的另外两个边上.
我们可设开始即如此,矩形DEFG在⊿ABC之内,DE在BC上,G在AB上,F在AC上.
设A关于GF的对称点为A′,B关于GD的对称点为B′,C关于FE的对称点为C′.
⊿ABC,矩形DEFG,⊿AGF,⊿BDG,⊿EFC,⊿A′B′C′的面积分别是S,S0,S1,S2,S3,S4.
则有S0＝S1＋S2＋S3－S4,
S＝S0＋S1＋S2＋S3.
S＝S0＋（S0＋S4）＝2S0＋S4≥2S0
当S4＝0时,（A′在BC上,）
S＝2S0
即：
三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半.
竹林雨绵绵 ,画个图吧,
,
如图，在△ABC中，AO⊥BC，设AO=1，BC=2a ，
所以S△ABC=a ，a是正实数；
在矩形DEFG中，设DE=x ，
由△BDE∽△BOA，得DE/AO=BD/BO，所以BD=x*BO ，
由△CGF∽△COA，得FG/AO=CG/CO，所以CG=x *CO ，
DG=BC-（BD+CG）=2a（1-x），
矩形DEFG面积=DG*x=2...
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如图，在△ABC中，AO⊥BC，设AO=1，BC=2a ，
所以S△ABC=a ，a是正实数；
在矩形DEFG中，设DE=x ，
由△BDE∽△BOA，得DE/AO=BD/BO，所以BD=x*BO ，
由△CGF∽△COA，得FG/AO=CG/CO，所以CG=x *CO ，
DG=BC-（BD+CG）=2a（1-x），
矩形DEFG面积=DG*x=2a（1-x）*x=2a[ 1/4 — (1/2 - x)^2 ] ，
当x=1/2时且x＜AO=1，矩形面积最大(1/2）a 。
所以，三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半。
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设三角形的底边为a，高为h，矩形的与a垂直的一边为x，另一边为y。三角形面积=ah/2
根据三角形相似，对应高的比等于相似比可得，（h-x）/h=y/a
所以y=a（h-x）/h，
所以矩形面积=xy=ax（h-x）/h
=-a/h（x-h/2)^2+ah/4
因为-a/h（x-h/2)^2<=0
所以矩形面积=-a/h（x-...
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设三角形的底边为a，高为h，矩形的与a垂直的一边为x，另一边为y。三角形面积=ah/2
根据三角形相似，对应高的比等于相似比可得，（h-x）/h=y/a
所以y=a（h-x）/h，
所以矩形面积=xy=ax（h-x）/h
=-a/h（x-h/2)^2+ah/4
因为-a/h（x-h/2)^2<=0
所以矩形面积=-a/h（x-h/2)^2+ah/4<=ah/4=三角形面积的一半
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回答者： yql20080809 - 高级经理 六级 10-31 13:22
好也~~