不要用中学的染色方法,否则不采用120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,问：这次竞赛至少有几人获奖?不要用
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 11:08:10
不要用中学的染色方法,否则不采用120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,问：这次竞赛至少有几人获奖?不要用
不要用中学的染色方法,否则不采用
120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,问：这次竞赛至少有几人获奖?
不要用染色法呀
不要用中学的染色方法,否则不采用120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,问：这次竞赛至少有几人获奖?不要用
44不对吧 应该啊是42 用染色法也是42
方法一42个
做对第一题的人加做对第2题的人,以及做对第三题的人加做对第四题的人都超过120,所以必然有超过做对第5题的人数获奖,于是可以假设做对第5题的人所有题都做对
这样总人数为120-35=85,做对各题人数分别为61,48,39,31
然后既做对第一题又做对第二题的人数为61+48-85=24,只做对第一题的人为37,只做对第2题的人为24个,做对第三题和第四题的人总数不足85,则定为他们互不相交,因为相交必然多产生得奖情况.同时,他们在一二题都做对的交集人数尽量少,至少为31-24=7人,39-37=2人（2人包含在7人中）
于是得奖人数为35+7=42
染色法
将这120人分别编号为P1,P2,…,P120,
并视为数轴上的120个点,用Ak表示这120人之中未答对第k题的人所成的组,
|Ak|为该组人数,k=l,2,3,4,5,
则|A1|=24,|A2|=37,|A3|=46,|A4|=54,|A5|=85,
将以上五个组分别赋予五种颜色,
如果某人未做对第k题,
则将表示该人点染第k色,k=l,2,3,4,5,
问题转化为,求出至少染有三色的点最多有几个?
由于|A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|=246,
故至少染有三色的点不多于
246
3
=82个,
右上图是满足条件的一个最佳染法,
即点P1,P2,…,P85这85个点染第五色；
点P1,P2,…,P37这37个点染第二色；
点P38,P39,…,P83这46个点染第四色；
点P1,P2,…,P24这24个点染第一色；
点P25,P26,…,P78这54个点染第三色；
于是染有三色的点最多有78个．
因此染色数不多于两种的点至少有42个,
即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如P79,P80,…,P120这42个人）．