高中向量题.13题

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/18 16:41:20

高中向量题.13题高中向量题.13题高中向量题.13题设|α|/|β|=x,x＞0α*β=αβ/β²=[|α||β|cosθ]/|β|²=[|α|/|β|]cosθ=x

高中向量题.13题
高中向量题.13题

高中向量题.13题
设|α|/|β|=x,x＞0
α*β=αβ/β²=[|α||β|cosθ]/|β|²=[|α|/|β|]cosθ=xcosθ
同理β*α=[|β|/|α|]cosθ=(1/x)cosθ
由题意可知2xcosθ,(2/x)cosθ均为正整数
θ∈（π/4,π/2）,于是0＜cosθ＜√2/2
2xcosθ≥1,（2/x)cosθ≥1
得1/(2cosθ)≤x≤2cosθ
2cosθ≥1/(2cosθ）,得cosθ≥1/2,
于是1≤2cosθ≤√2
√2/2≤1/(2cosθ）≤1,于是√2/2≤x≤√2
于是x=1,2cosθ=1,得cosθ=1/2
α*β=xcosθ=1/2

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