已知函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)在点M(1,f(1) )处的切线方程为x-y-1=01.求f(x)的解析式2.设函数g(x)=lnx,证明：g(x)>=f(x)对x属于闭区间1,正无穷恒成立
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 20:41:07
已知函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)在点M(1,f(1) )处的切线方程为x-y-1=01.求f(x)的解析式2.设函数g(x)=lnx,证明：g(x)>=f(x)对x属于闭区间1,正无穷恒成立
已知函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)在点M(1,f(1) )处的切线方程为x-y-1=0
1.求f(x)的解析式
2.设函数g(x)=lnx,证明：g(x)>=f(x)对x属于闭区间1,正无穷恒成立
已知函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)在点M(1,f(1) )处的切线方程为x-y-1=01.求f(x)的解析式2.设函数g(x)=lnx,证明：g(x)>=f(x)对x属于闭区间1,正无穷恒成立
1
在切线方程中令x=1==>y=0
所以切点M(1,0),也闵是：
f(1)=0
(a+b)=0 ==>a=-b ①
f ‘(x)=[a(x²+1)-2x(ax+b)]/(x²+1)²
斜率k=f ’(1)=[2a-2(a+2b)]/4=(-2b)/4=1
b=-2
由①知 a=2
f(x)=(2x-2)/(x²+1)
2
因为f(x)=2(x-1)/(x²+1)
f ‘(x)= - 2(x²-2x)/(x²+1)²
令h(x)=g(x)-f(x)
h '(x)=1/x+2(x²-2x)/(x²+1)²=[x⁴-2x³+6x²+1]/x(x²+1)²
=[x²(x²-2x+6)+1]/x(x²+1)²>0
所以h(x)在【1,+∞）上单调增
而h(1)=g(1)-f(1)=0-0=0
所以
h(x)≥0恒成立
即
g(x)>=f(x)对x属于闭区间1,正无穷恒成立
1,因为M点也在切线上，故带入切线方程得f(1)=0,带入函数表达式可得a+b=0(i)
斜率f '(x)=(-ax^2-2bx+a)/((x^2+1)^4),由切线方程可知f '(1)=1,带入得b=-8,故a=8.
f(x)=(8x-8)/(x^2+1)。
2，原式等价于g(x)-f(x)>=0满足条件。
令h(x)=g(x)-f(x),求导h '(x)=(1/...
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1,因为M点也在切线上，故带入切线方程得f(1)=0,带入函数表达式可得a+b=0(i)
斜率f '(x)=(-ax^2-2bx+a)/((x^2+1)^4),由切线方程可知f '(1)=1,带入得b=-8,故a=8.
f(x)=(8x-8)/(x^2+1)。
2，原式等价于g(x)-f(x)>=0满足条件。
令h(x)=g(x)-f(x),求导h '(x)=(1/x)+8(x^2-2x-1)/((x^2+1)^4)，由于x>=1,故当x=1时，h '(x)有最小值0，故h '(x)>=0恒成立，即h (x)在x>=1的区间内为增函数，最小值为h (1)=0，故h (x)>=0恒成立。即证得题目。
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