如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:33:38
如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数设它们是x-1,x,x+1立方和为(x-1)^3+x^3+(x+1)

如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数
如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数

如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数
设它们是x-1,x,x+1
立方和为
(x-1)^3+x^3+(x+1)^3
=(x^3-3x^2+3x-1)+x^3+(x^3+3x^2+3x+1)
=3x^3+6x
=3x(x^2+2)
（x^2表示x的平方,x^3表示x的立方）
这首先一定是3的倍数,只要看x,x有三种情况：
①x就是3的倍数,那么3x就是9的倍数,那么3x(x^2+2)（立方和）就是9的倍数
②x是3的倍数多1,设x=3k+1（k为整数）
3x(x^2+2)
=3(3k+1)[(3k+1)^2+2]
=3(3k+1)(9k^2+6k+1+2)
=3(3k+1)3(3k^2+2k+1)
=9(3k+1)(3k^2+2k+1)
是9的倍数
③x是3的倍数多2,设x=3k+2（k为整数）
3x(x^2+2)
=3(3k+2)[(3k+2)^2+2]
=3(3k+2)(9k^2+12k+4+2)
=3(3k+1)3(3k^2+4k+2)
=9(3k+1)(3k^2+4k+2)
是9的倍数

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