设f(x)=(x+1)ln(x+1)+m(x2+2x) (m∈R)（1）当m=-1时,求函数f(x)的单调区间（2）若当x≥0时,f(x)≤0,求实数m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 07:56:08
设f(x)=(x+1)ln(x+1)+m(x2+2x) (m∈R)（1）当m=-1时,求函数f(x)的单调区间（2）若当x≥0时,f(x)≤0,求实数m的取值范围
设f(x)=(x+1)ln(x+1)+m(x2+2x) (m∈R)
（1）当m=-1时,求函数f(x)的单调区间
（2）若当x≥0时,f(x)≤0,求实数m的取值范围
设f(x)=(x+1)ln(x+1)+m(x2+2x) (m∈R)（1）当m=-1时,求函数f(x)的单调区间（2）若当x≥0时,f(x)≤0,求实数m的取值范围
(1)定义域x+1>0,即x>-1.
f(x)=(x+1)ln(x+1)-x2-2x
f'(x)=ln(x+1)+1-2x-2=ln(x+1)-2x-1
令二阶导函数 f''(x)=1/(x+1)-2-1或x-1.令f''(x)>0解出来并综合定义域可知无解.所以一阶导函数f'(x)为定义域内的减函数.
所以f'(x)的最小值为x取无穷大时的极限值：负无穷大,最大值为x取-1时的极限值：负无穷小.所以f'(x)为一个能取到一切实数的减函数.所以总有一个x值使得f'(x)=0,但是我们无法求出来,它是个高等等式.暂且设这个值为x0.那么当f'(x)x0；当f'(x)>0时自然是x0.即g(x)为增函数,所以g(x)的最小值为当x=0时的极限值：1/2.
所以m
(1) f'(x)=1+ln(x+1)-2x-2=ln(x+1)-2x-1
即x>ln2是 导函数f>0 原函数f为增函数 （1）单调减区间为（-无穷大，ln2】 单调增区间为【ln2，+无穷大）极小值 为f（ln2）=2-2ln2+2a （2
f'(x)=1+ln(x+1)-2x-2=ln(x+1)-2x-1
(1)定义域x+1>0，即x>-1。
f(x)=(x+1)ln(x+1)-x2-2x
f'(x)=ln(x+1)+1-2x-2=ln(x+1)-2x-1
令 f'(x)分别＞0 ， ＜0 ，解范围
（2）
f'(x)=ln(x+1)+1+2m(x+1)
=ln(x+1)+2mx+2m+1
已知x≥0 则ln(x+1...
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(1)定义域x+1>0，即x>-1。
f(x)=(x+1)ln(x+1)-x2-2x
f'(x)=ln(x+1)+1-2x-2=ln(x+1)-2x-1
令 f'(x)分别＞0 ， ＜0 ，解范围
（2）
f'(x)=ln(x+1)+1+2m(x+1)
=ln(x+1)+2mx+2m+1
已知x≥0 则ln(x+1)≥ln1=0
又f(x)≤0恒成立 则必需f'(x)≤0
所以2mx+2m+1≤0
即m≤-1/2(x+1)≤-1/2
此时，函数单减
只需f(0)=0≤0
故m≤-1/2
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