哪些代数数域中素因数的唯一分解性成立?又在哪些数域中不成立?怎么判定?如题.比如,有理数域中的整数素因数唯一分解,域Q(i)中的整数也成立.但在二次域中不成立.那是不是只有在有理数域
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 11:07:38
哪些代数数域中素因数的唯一分解性成立?又在哪些数域中不成立?怎么判定?如题.比如,有理数域中的整数素因数唯一分解,域Q(i)中的整数也成立.但在二次域中不成立.那是不是只有在有理数域
哪些代数数域中素因数的唯一分解性成立?又在哪些数域中不成立?怎么判定?
如题.比如,有理数域中的整数素因数唯一分解,域Q(i)中的整数也成立.但在二次域中不成立.
那是不是只有在有理数域和复数域中素因数的唯一分解性成立?
实在是没分了.
哪些代数数域中素因数的唯一分解性成立?又在哪些数域中不成立?怎么判定?如题.比如,有理数域中的整数素因数唯一分解,域Q(i)中的整数也成立.但在二次域中不成立.那是不是只有在有理数域
这个问题很难,至少我现在不会做,不过已有的一些结果可以给你看一看.
首先,如果整环上有唯一分解定理,那么域上必定也有唯一分解定理.因此我们从环上考虑.
一个整环若有唯一分解性成立,则称之为唯一分解整环或者Gauss整环.
Gauss整环的判定可用下面定理：
1,因子链条件(即因子降链有限(在代数数论里常用这一词),或者主理想升链有限)
2,每一个不可约元为素元.
这样我们能很快得到一大类Gauss整环.
首先一切主理想整环都是Gauss整环,因为主理想整环必须满足1,和2.
这样的话：
我们回到你刚才说的问题上.
考虑Q(sqrt(m))这类二次数域上的一类子环：
代数整数环
R(m)={a+bsqrt(m),a,b为整数},(当m=2或3 mod4)
R(m)={(a+bsqrt(m))/2,a,b为整数且同奇偶}(当m=1 mod 4)
当m0时,在给定范数d(a)=|a|^2情况下,R(m)为主理想整环的m只有16种：
m=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73.
你可以自己逐一去证明,用的都是一套手法做的.
Gauss猜测,存在无限个实二次数域Q(sqrt(m))(m>0),它们的代数整数环为主理想整环.
所以哥们你要是想把代数数域里满足唯一分解定理的全找出来,这个工程是比较浩大的.