小明和小红玩下面的游戏:他们轮流在黑板上写一个数字,小红先开始,每一个接下去的数字都写在已经在黑板上的数字顺序的左边或右边.证明:小红可以避免在小明把数字归零之前写出一个
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 01:56:32
小明和小红玩下面的游戏:他们轮流在黑板上写一个数字,小红先开始,每一个接下去的数字都写在已经在黑板上的数字顺序的左边或右边.证明:小红可以避免在小明把数字归零之前写出一个
小明和小红玩下面的游戏:他们轮流在黑板上写一个数字,小红先开始,每一个接下去的数字都写在已经在黑板上的数字顺序的左边或右边.
证明:小红可以避免在小明把数字归零之前写出一个十进制中的平方数.
小明和小红玩下面的游戏:他们轮流在黑板上写一个数字,小红先开始,每一个接下去的数字都写在已经在黑板上的数字顺序的左边或右边.证明:小红可以避免在小明把数字归零之前写出一个
X7和7X形式的两位数里无平方数.其他的数:0有01;1有16;2有25;3有36;4有49;5有25;6有36;8有81;9有09.可见小红的第一步也只能写7.躲过小明的第一劫后,小红的日子就好过很多了.
下面证明:以后每次小红要做的,只是在已有的数的末尾添加2或者3,就可以妥妥地阻止小明写出平方数.
设已有的数为X,过了第一关后,再轮到小红写的时候,X已经至少是个两位数了(这个假设很关键).
考虑100X+20到100X+39这20个连续整数里平方数的个数.下面我断言:这20个连续整数里,顶多能有一个平方数.这是因为假设里面有一个平方数100X+m=n²,则因为X至少是两位数,所以100X>100*10=1000,所以n>30,这样的话,n-(n-1)²=2n-1>50,(n+1)²-n²=2n+1>50,所以最近的平方数至少也要相差50.也就是说这20个连续整数里,确实不可能再有第二个平方数了.
所以,下面两个事实至少成立一个:(1)100X+20到100X+29里没有平方数(2)100X+30到100X+39里没有平方数.
假设(1)成立,小红就在X的末尾添上2;假设(2)成立,小红就在末尾添上3.
下面我们分析下小明下一步的选择.如果小明下一步选择在末尾添数的话,已经自然是无法得手了.如果小明选择在首位添数的话,因为平方数的末位不可能是2或3,也自然是无法得手的.这样的话,小红的就能胜券在握了,证明完毕.
ps:上面的证明里有一个小小的遗漏,如果大家都一股劲地在首位添0,则X会一直保持在一位数7.不过这样的话,对小红来说也是没有问题的.这下证明就完善了.