已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对任意两个不相等的正数x1,x2,证明:当af[(x1+x2)/2].

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 01:04:55
已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对任意两个不相等的正数x1,x2,证明:当af[(x1+x2)/2].已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对

已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对任意两个不相等的正数x1,x2,证明:当af[(x1+x2)/2].
已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对任意两个不相等的正数x1,x2,证明:当af[(x1+x2)/2].

已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对任意两个不相等的正数x1,x2,证明:当af[(x1+x2)/2].
我给你简单分析一下:
[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]从图像上看就是(x1,f(x1))与(x2,f(x2))的中点高于f函数图像x1,x2的中点.画出图来函数f显然是一个导数的导数>0的函数.
证明:
因为f(x)=x^2+2/x+alnx
所以f(x)‘’=2+4/(x^3)-a/(x^2),而且x>0(定义域)
因为a0
所以[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]

本题即证明函数 f(x)=x^2+2/x+alnx 当常数a≤0时为区间(0,+∞)h上的下凸函数(或称凹函数)
即只须证明f(x)的二阶导数在给定的区间内恒大于等于0,
∵ f'(x)=2x-2/x^2+a/x, f''(x)=2+2/x^3-a/x,∵a≤0 , ∴ 当x∈(0,+∞)时,f''(x)>0恒成立,
∴ f(x)是区间(0,+∞)上的下凸函数,

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本题即证明函数 f(x)=x^2+2/x+alnx 当常数a≤0时为区间(0,+∞)h上的下凸函数(或称凹函数)
即只须证明f(x)的二阶导数在给定的区间内恒大于等于0,
∵ f'(x)=2x-2/x^2+a/x, f''(x)=2+2/x^3-a/x,∵a≤0 , ∴ 当x∈(0,+∞)时,f''(x)>0恒成立,
∴ f(x)是区间(0,+∞)上的下凸函数,
∴对任意两个不相等的正数x1,x2,:当a<=0时,[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2].

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