已知数列{an}的前n项和Sn,S2=3,且点在(2^n,Sn)在直线上y=kx-1上.（1）求k的值,并证明｛an｝是等比数列；（2）记Tn为数列｛Sn｝的前n项和,求使Tn＞2010成立的n最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 20:26:59
已知数列{an}的前n项和Sn,S2=3,且点在(2^n,Sn)在直线上y=kx-1上.（1）求k的值,并证明｛an｝是等比数列；（2）记Tn为数列｛Sn｝的前n项和,求使Tn＞2010成立的n最小值.
已知数列{an}的前n项和Sn,S2=3,且点在(2^n,Sn)在直线上y=kx-1上.
（1）求k的值,并证明｛an｝是等比数列；
（2）记Tn为数列｛Sn｝的前n项和,求使Tn＞2010成立的n最小值.
已知数列{an}的前n项和Sn,S2=3,且点在(2^n,Sn)在直线上y=kx-1上.（1）求k的值,并证明｛an｝是等比数列；（2）记Tn为数列｛Sn｝的前n项和,求使Tn＞2010成立的n最小值.
1.
点在(2^n,Sn)在直线上y=kx-1上,
Sn=k2^n-1
S2=4k-1=3
k=1
所以Sn=2^n-1,a1=S1=2k-1=1
S(n-1)=2^(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)
所以k=1,an是首项为1,公比为2的等比数列；
2.
由上知Sn=2^n-1
Tn=[2^1-1]+[2^2-1]+[2^3-1]+……+[2^(n-2)-1]+[2^(n-1)-1]+[2^n-1]
=-n+[2^1+2^2+2^3+……+2^(n-2)+2^(n-1)+2^n]
=-n+2(2^n-1)/(2-1)
=2^(n+1)-n-2
Tn=2^(n+1)-n-2＞2010
因Sn=2^n-1＞0
所以Tn为递增函数,
设N为所求,则
TN=2^(N+1)-N-2＞2010
T(N-1)=2^N-(N-1)-2＜2010
N=10
(1)由题意知点（2^2，S2）在直线上即点（4,3）在直线上
所以将点代入直线方程得到 K=1
(2)由题意求出Sn=2^n-1
所以Tn=2^1-1+2^2-1+....+2^n-1
=(2^1+2^2+....+2^n)-n
=2^(n+1)-n