ABCDEFG为圆内正七边形,求证,1／AB=1／AC＋1／AD

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 02:14:12
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ABCDEFG为圆内正七边形,求证,1／AB=1／AC＋1／AD
ABCDEFG为圆内正七边形,求证,1／AB=1／AC＋1／AD

ABCDEFG为圆内正七边形,求证,1／AB=1／AC＋1／AD
不失一般性,令圆的半径为1.
AB所对的圆心角＝2π/7,∴AB＝2sin（π/7）.
AC所对的圆心角＝（2π/7）×2,∴AC＝2sin（2π/7）.
AD所对的圆心角＝（2π/7）×3,∴AD＝2sin（3π/7）.
∴问题就转化成求证：1/sin（π/7）＝1/sin（2π/7）＋1/sin（3π/7）.
显然有：cos（π/7）＋cos（2π/7）＝cos（π/7）－cos（5π/7）,
∴cos（π/7）－cos（3π/7）＋cos（2π/7）－cos（4π/7）＝cos（π/7）－cos（5π/7）,
∴2sin（π/7）sin（2π/7）＋2sin（π/7）sin（3π/7）＝2sin（2π/7）sin（3π/7）,
∴sin（π/7）［sin（2π/7）＋sin（3π/7）］＝sin（2π/7）sin（3π/7）,
∴1/sin（π/7）＝［sin（2π/7）＋sin（3π/7）］/sin（2π/7）sin（3π/7）,
∴1/sin（π/7）＝1/sin（2π/7）＋1/sin（3π/7）.
于是问题得证.

方出的委屈委屈日

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