已知：a,b,c是三个互不相等的正整数求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10整已知：a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 08:43:39
已知：a,b,c是三个互不相等的正整数求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10整已知：a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10
已知：a,b,c是三个互不相等的正整数求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10整
已知：a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10整除
已知：a,b,c是三个互不相等的正整数求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10整已知：a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中,至少有一个数能被10
设a、b、c是三个互不相等的正整数,证明：在a³b-ab³、b³c-bc³、c³a-ca³三个数中,至少有一个数能被10整除.
证明：由于a³b-ab³=ab(a+b)(a-b),可知不论a、b的奇偶性如何,ab(a+b)(a-b)必然是偶数,所以这3个数都是偶数；
a³b-ab³=ab(a+b)(a-b)
b³c-bc³=bc(b+c)(b-c)
c³a-ca³=ca(c+a)(c-a)
由于10=2×5,因此现在只需证明a、b、c、a+b、b+c、c+a、a-b、b-c、c-a中有一个能被5整除即可.有以下几种可能：
①若a、b、c中有一个能被5整除,则原命题成立；
②若a、b、c中有两个数被5除的余数相同,则a-b、b-c、c-a中必有一个能被5整除,原命题成立；
③若a、b、c三个数被5除余数都不相同,由于整数不能被5整除的余数只有1、2、3、4这四种情况.那么a、b、c三个数被5除的余数只有四种情况：1、2、3,1、2、4,1、3、4,2、3、4；可以看出,任意一种情况中,都有两个余数相加等于5,即2+3=5或1+4=5,所以a+b、b+c、c+a
中必有一个能被5整除,原命题同样成立；
综上所述,原命题成立.
我觉得这题思路应该是三式相乘，化简后因式有10，从而证明结论。
或者是三个数中有5,有偶数，但题目未指明三式的结果限制，所以有难度，
呵呵，期待！
这一课我感冒了，据说是根据奇偶性求，这位仁兄答得比较完美