一道微积分证明题（端点为零,二阶可导正不等式）如图用拉格朗日中值只能得到一阶导,和那个二阶导的不等式联系不上用泰勒展开的话也是多了一阶导在中间算不了给出思路即可
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 14:37:49
一道微积分证明题（端点为零,二阶可导正不等式）如图用拉格朗日中值只能得到一阶导,和那个二阶导的不等式联系不上用泰勒展开的话也是多了一阶导在中间算不了给出思路即可
一道微积分证明题（端点为零,二阶可导正不等式）
如图
用拉格朗日中值只能得到一阶导,和那个二阶导的不等式联系不上
用泰勒展开的话也是多了一阶导在中间算不了
给出思路即可
一道微积分证明题（端点为零,二阶可导正不等式）如图用拉格朗日中值只能得到一阶导,和那个二阶导的不等式联系不上用泰勒展开的话也是多了一阶导在中间算不了给出思路即可
还是用变上限积分,F(x)=a到x积分f(t),然后对F用泰勒展开
我用的是手机，看不到题目，但像这样的题目一般要先构造辅助函数，在用拉格朗日定理，关键是函数的构造啦。
首先不妨设a=-1,b=1，不然的话做变换
g(t) = f[ t(b-a)/2+(b+a)/2 ] 就可以把定义域
换到[-1,1]上来。
所以只需要证明若f(-1)=f(1)=0, |f''(x)|<=M
则 | \int_{-1}^1 f(x)dx | <= 2M/3
为此先证明一个引理：
若函数h(x)满足h(-1)=h(1)=0, 且h''...
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首先不妨设a=-1,b=1，不然的话做变换
g(t) = f[ t(b-a)/2+(b+a)/2 ] 就可以把定义域
换到[-1,1]上来。
所以只需要证明若f(-1)=f(1)=0, |f''(x)|<=M
则 | \int_{-1}^1 f(x)dx | <= 2M/3
为此先证明一个引理：
若函数h(x)满足h(-1)=h(1)=0, 且h''(x)恒非负，
则h恒非正。
这是因为若存在x使h(x)>0的话，h在[-1,1]上的最
大值h(x0)>0，又h(-1)=0，由中值定理，存在x1属于
(-1, x0)，使得h'(x1)=[h(x0)-h(-1)]/(x0+1)>0
又h'(x0)=0，所以存在x2属于(x1, x0)，使得
h''(x2) = [h'(x0)-h'(x1)]/(x0-x1)
= -h'(x1)/(x0-x1) < 0
这与h''(x)恒非负矛盾。
下面令g(x) = M/2 - x^2*M/2
则 g(-1) = g(1) = 0, g''(x) = -M
令 h(x) = f(x) - g(x)
则 h(-1) = h(1) = 0
h''(x) = f''(x) - g''(x) = f''(x)+M >= 0
由引理 h <= 0，就是 f(x) <= g(x)
同样的道理 f(x) >= -g(x)
所以 |f(x)| <= g(x)
所以 | \int_{-1}^1 f(x)dx |
<= \int_{-1}^1 |f(x)| dx
<= \int_{-1}^1 g(x) dx
= 2M/3
收起