在三角形ABC中,∠C=90度,AD是边BC上的中线,DE⊥AB,垂足为E.试说明AC²=AE²-BE².
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 00:44:57
在三角形ABC中,∠C=90度,AD是边BC上的中线,DE⊥AB,垂足为E.试说明AC²=AE²-BE².
在三角形ABC中,∠C=90度,AD是边BC上的中线,DE⊥AB,垂足为E.试说明AC²=AE²-BE².
在三角形ABC中,∠C=90度,AD是边BC上的中线,DE⊥AB,垂足为E.试说明AC²=AE²-BE².
说明：AE2=AD2-DE2,BE2=BD2-DE2,因AD是BC边上的中点,所以BD=CD,故AE2-BE2=AD2-DE2-BD2+DE2=AD2-BD2,又AD2=CD2+AC2,即AE2-BE2=AD2-BD2=CD2+AC2-BD2=AC2
∵AD为中线 ∴CD=BD ∵∠ACB=90o ∴AC2=AD2-CD2 AD2=AE2+ED2 ED2=DB2-BE2 ∴AC2=AE2-BE2
很简单，步骤如下：
利用反推法，由于我们要求证是：AC^2=AE^2-BE^2，所以现在我们将这个式子继续向上反推就得出：AC^2=AE^2-(BD ^2-DE^2)=(AE^2+DE^2)-BD^2
结合题意，根据勾股定理可知：(AE^2+DE^2)=AD^2
所以：AC^2 = AD^2 - BD^2
又由于D是BC的中点，即：DB=DC
所以原式就成了...
全部展开
很简单，步骤如下：
利用反推法，由于我们要求证是：AC^2=AE^2-BE^2，所以现在我们将这个式子继续向上反推就得出：AC^2=AE^2-(BD ^2-DE^2)=(AE^2+DE^2)-BD^2
结合题意，根据勾股定理可知：(AE^2+DE^2)=AD^2
所以：AC^2 = AD^2 - BD^2
又由于D是BC的中点，即：DB=DC
所以原式就成了：AC^2=AD^2- CD^2
再次根据勾股定理，并且结合题意我们发现 AC^2=AD^2- CD^2正好成立。因此我们可按此步骤再顺推，得出本题所要求证的AC2=AE2-BE2也是成立的。
证明完毕！~O(∩_∩)O~
收起