已知角MON=40度,P为内角一定点,A,B分别在射线OM,ON上,当三角形PAB周长取得最小值时,求∠APB的度数.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/15 13:22:27
已知角MON=40度,P为内角一定点,A,B分别在射线OM,ON上,当三角形PAB周长取得最小值时,求∠APB的度数.
已知角MON=40度,P为内角一定点,A,B分别在射线OM,ON上,当三角形PAB周长取得最小值时,求∠APB的度数.
已知角MON=40度,P为内角一定点,A,B分别在射线OM,ON上,当三角形PAB周长取得最小值时,求∠APB的度数.
分别作点P关于OM、ON的对称点C、D,PC交OM于E,PD交ON于F;联接CD分别交OM、ON于A'、B';联接AC、BD.
则 A'C=A'P B' D=B'P AC=AP BD=BP
△A'B'P的周长=A'B'+PA'+B'P=A'B'+CA'+B'D=CD
△ABP的周长=AB+PA+BP=AB+CA+BD≥CD=△A'B'P的周长
∵ A'C=A'P B' D=B'P
∴∠A'CP=∠A'PC ∠B' DP=∠B' PD
在四边形OEPF中,
∠CPD=360°-∠O-∠AEP-∠AFP=360°-40°-90°-90°=140°
在三角形PCD中
∠PCD+∠PDC=180°-∠CPD=40°
∴∠A'PC+∠B' PD=∠PCD+∠PDC=40°
∴∠A'PB' =∠CPD-(∠A'PC+∠B' PD)=100°
∴当三角形PAB周长取得最小值时,∠APB=∠A'PB' =100°
我写的有点繁琐,不知你能否看的清楚,有问题再联系.
我尽量简要写,希望你能看懂(请你根据我的图来看) 分别做P关于OM和ON的对称点P',P''。连接P',P'',分别交OM,ON与A,B,连接AP,BP,OP,OP',OP'',PP',P''.此时三角形ABP周长最短。还可以得:三角形PP'O,POP'',OP'P''为等腰三角形OM,ON平分角P'OP,P''OP所以角P'OP''=80度所以角1+角7=100度。因为角1+几哦啊3=角2+角4,角7+角6=角8+角5,且角3=角4,角5=角6,所以角1=角2,角7=角8,所以角APB=角2+角8=角1+角7=100度(最佳!)