如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°（1）当点P与点O重合时,求证：AM+CN=跟号3 AO（2）点P在线段OA上（不与点A
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 04:13:09
如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°（1）当点P与点O重合时,求证：AM+CN=跟号3 AO（2）点P在线段OA上（不与点A
如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°
（1）当点P与点O重合时,求证：AM+CN=跟号3 AO
（2）点P在线段OA上（不与点A、O重合）若AP=2PO,则线段AM、CN、AO满足的数量关系为：2AM+CN= AO；
如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°（1）当点P与点O重合时,求证：AM+CN=跟号3 AO（2）点P在线段OA上（不与点A
郭敦顒回答：
∵菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,
∴∠BAD=60°,AB=BC=CD=AD=BD,
（1）当点P与点O重合时,求证：AM+CN=（√3 ）AO
当OM⊥AD,ON⊥CD时,∠MON=∠MPN =60°,符合题设条件,
此时,∠AOM=60°,AM=AOsin60°=[（√3 ）/2]AO,CN=AM
∴AM+CN=（√3 ）AO,这是在特殊情况下的证明.下面给出一般情况下的证明：
在△AOM中,令∠AOM=∠1＜90°,∠AMO=∠3=150°－∠1,
在△CON中,令∠CON=∠2＜90°=120°－∠1,
∠CNO=∠4=150°－∠2=150°－（120°－∠1）=30°+∠1,
则∠1+∠2=180°－60°=120°,∠3+∠4=180°,∠4=180°－∠3,
按正弦定理,
AM/sin∠1=AO/sin∠3=OM/sin30°,CN/sin∠2=COsin∠4=AO/sin∠3=ON/sin30°
∴OM=ON
∴AM=AOsin∠1/sin30°,CN= AOsin∠2/sin30°
AM+CN=OM（sin∠1+ sin∠2）/ sin30°=OM[sin∠1+ sin（120°－∠1）]/ sin30°
∴AM+CN=
AO（sin∠1+ sin∠2）/ sin∠3=AO[sin∠1+ sin（120°－∠1）]/ sin（150°－∠1）
按三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2] cos[（α－β）/2]
[sin∠1+ sin（120°－∠1）]=2 sin60°cos（60°－∠1）
∵2 sin60°=√3,
又∵cos（60°－∠1）/ sin（150°－∠1）= cos（－∠1）/ sin（90°－∠1）=1
∴AM+CN=（√3 ）AO