证明:当0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 05:30:37
证明:当0证明:当0证明:当0构造以t为变量的幂级数：f(t)=sum(1/2n-1)*sin(2n-1)x*t^(2n-1)Dirichlet判别法告诉我们,f(t)在[0,1]上处处收敛.幂级数的
证明:当0 证明:当0 把右边在定义域内奇延拓，再做傅里叶展开，就是左边的式子
证明:当0
构造以t为变量的幂级数：
f(t) = sum (1/2n-1)*sin(2n-1)x*t^(2n-1)
Dirichlet判别法告诉我们,f(t)在[0,1]上处处收敛.幂级数的阿贝尔定理说,如果一个幂级数在一点处收敛,那么它也在该点处连续.借此,我们将求出f(1).
根据幂级数的性质,f(t)在(0,1)内可以逐项微分,所以
f'(t) = sum sin(2n-1)x*t^(2n-2)
利用复数的欧拉公式,将f'(t)视作收敛复级数
(1/t)*sum (e^(ix)(t)^(2n-1)
的虚部,可以求得
f'(t) = (sin x*(1+t^2))/(t^4 - 2t^2*cos(2x) + 1)
另一方面,明显地,f(0)=0.所以根据阿贝尔定理,
f(1) = int f'(t) dt
积分从0积至1.将前述f'(t)的表达式代入,这是一个关于t的有理积分.我们用部分分式：
f'(t) = (1/2)*sin x * (1/(t^2 + t*cos x + 1) + 1/(t^2 - t*cos x + 1))
计算上述积分,即得所求