证明不等式：当0

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/07/08 23:33:14

证明不等式：当0证明不等式：当0证明不等式：当0考虑从函数的角度理解证：即证tanx-x-x³/3>0(0令f(x)=tanx-x-x³/3x∈(0,π/2)则f''(x)=sec&

证明不等式：当0
证明不等式：当0

证明不等式：当0
考虑从函数的角度理解
证：
即证 tanx - x - x³/3 > 0 (0 < x < π/2)
令 f(x) = tanx - x - x³/3 x∈(0,π/2)
则 f'(x) = sec²x - 1 - x²
= tan²x - x²
= (tan + x)(tanx - x) 由 tanx + x > 0 令正数 ε = tanx + x > 0
= ε(tanx - x) [ tanx - x > 0 在(0,π/2) 内显然成立,为严谨起见证之 ]
令g(x) = tanx - x x∈(0,π/2)
则g'(x) = sec²x - 1
= tan²x > 0
故g(x) 在(0,π/2) 上单调递增
又 g(x) 在 [0,π/2) 上连续,g(x) > g(0) = 0
即 f'(x) = εg(x) > 0 x∈(0,π/2)
故 f(x) 在 (0,π/2) 上单调递增
又 f(x) 在 [0,π/2) 上连续,f(x) > f(0) = 0
即 tanx - x - x³/3 > 0 x∈(0,π/2)
故当 0 < x < π/2 时,tanx > x + x³/3 得证
* sec²x = 1/(cos²x)
** sec²x - 1 = tan²x

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