试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论

试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论
试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论

试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论
正整数永远左边大.
n=1时 左边大3
n=2时 左边大2
n=3时 左边大1
当n>=4时,左右两边的增量分别是
[ 2^(n+1)+2 ] - [ 2^n+2 ] = 2^n
(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1
n=4时,2^n > 2n + 1
2^n = 4,2^(n+1) = 2^n + 4
2n + 1 = 5,2(n+1) + 1 = (2n + 1) + 2
n>4时,
2^(n+1) > 2^n + 4
2(n+1) + 1 = (2n + 1) + 2
所以一直有 2^n > 2n+1
所以一直有2^n+2 > n^2

是2的N次方加2还是2的(N+2)次方?

n=1,成立，n=2，成立，n=3，成立，假设当n=k，成立，当n=k＋1，2∧（k＋1）＋2=2*2k＋2≥2*（k^2－2）＋2=2k^2－2,2k^2－2－（k＋1）^2=（k－3）（k＋1）≥0

【俊狼猎英】团队为您解答~
n=1时，2+2>1，成立
n=2时，2^2+2>2^2，成立
假设前2^n+2>n^2对n=k>=2成立，
则n=k+1时，
2^(k+1)+2>(k^2-2)^2+2
n^2-2>n+1对n>=3恒成立，因此
2^(k+1)+2>(k^2-2)^2+2>(k+1)^2+2>(k+1)^2
即2^n+2>...

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【俊狼猎英】团队为您解答~
n=1时，2+2>1，成立
n=2时，2^2+2>2^2，成立
假设前2^n+2>n^2对n=k>=2成立，
则n=k+1时，
2^(k+1)+2>(k^2-2)^2+2
n^2-2>n+1对n>=3恒成立，因此
2^(k+1)+2>(k^2-2)^2+2>(k+1)^2+2>(k+1)^2
即2^n+2>n^2对n=k+1成立
由数学归纳法，2^n+2>n^2对正整数n恒成立，即证

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这两个表达式看作函数可知大小在R上没有绝对的谁大谁小，因此只有画图讨论函数的取值范围，联立方程后得交点坐标得结论再去反证。

当n=1时，2^n+2=4，n^2=1，2^n+2>n^2成立；........a
当n=2时，2^n+2>n^2成立；.......b

当n=3时，2^n+2>n^2成立（从n=4起用归纳法，2、3单证）.......1
设当n=k时，2^n+2>n^2也成立，.........2
则：
2^（k+1）+2=2^k*2+2>2^k+k^2(代入...

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当n=1时，2^n+2=4，n^2=1，2^n+2>n^2成立；........a
当n=2时，2^n+2>n^2成立；.......b

当n=3时，2^n+2>n^2成立（从n=4起用归纳法，2、3单证）.......1
设当n=k时，2^n+2>n^2也成立，.........2
则：
2^（k+1）+2=2^k*2+2>2^k+k^2(代入假设)；
当k>3时，k^2>2*k+1恒成立（转化为函数，用倒数证明）；
所以：2^（k+1）+2>2^k+k^2>2^k+k*2+1=（k+1）^2........3
综合1、2、3可知当n>=3时，2^n+2大于n^2恒成立，再加上a与b，可知不等式在n为整数时都成立

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2^n+2＞n²,证明如下：（数学归纳法写的不规范，只做思路参考）
n=1,2^n+2-n²=2¹+2-1²=3＞0
n=2,2^n+2-n²=2²+2-2²=2＞0
n=3,2^n+2-n²=2³+2-3²=1＞0
……
设n=k时，2^n+2-n²...

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2^n+2＞n²,证明如下：（数学归纳法写的不规范，只做思路参考）
n=1,2^n+2-n²=2¹+2-1²=3＞0
n=2,2^n+2-n²=2²+2-2²=2＞0
n=3,2^n+2-n²=2³+2-3²=1＞0
……
设n=k时，2^n+2-n²=2^k+2-k²＞0成立(k＞2)
则n=k+1时，2^n+2-n²=2^(k+1)+2-(k+1)²=2×2^k+2-k²-2k-1=2^k+2-k²+2^k-2k-1
又2^k+2-k²＞0,2^k-2k-1＞0
所以，2^k+2-k²+2^k-2k-1＞0成立
所以原命题成立

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