高中已知四边形ABCD为菱形,设向量AD=a向量,AD=b求证向量AC⊥BD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 04:34:34
高中已知四边形ABCD为菱形,设向量AD=a向量,AD=b求证向量AC⊥BD
高中已知四边形ABCD为菱形,设向量AD=a向量,AD=b求证向量AC⊥BD
高中已知四边形ABCD为菱形,设向量AD=a向量,AD=b求证向量AC⊥BD
应该是AD=a,AB=b
证：
因为ABCD是菱形
所以|a|=|b|
因为AC=AD+DC=a+b
BD=BA+AD =-b+a=a-b
AC*BD=（a+b）(a-b)=a²-b²=|a|²-|b|²=0
所以AC⊥BD
【注：以上都表示向量.】
祝学习快乐!
证明向量AC与向量BD数量积为0即可
由于菱形的定义是一组邻边相等的平行四边形是菱形，因而可知四边形ABCD是平行四边形，且|AD|=|AB|，从而知向量AD=向量BC，|AD|=|AB|
AC•BD=(AB+AD)•(BA+BC)=-|AB|²+AB•BC+AD•BA+AD•BC=-|AB|²+AB&...
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证明向量AC与向量BD数量积为0即可
由于菱形的定义是一组邻边相等的平行四边形是菱形，因而可知四边形ABCD是平行四边形，且|AD|=|AB|，从而知向量AD=向量BC，|AD|=|AB|
AC•BD=(AB+AD)•(BA+BC)=-|AB|²+AB•BC+AD•BA+AD•BC=-|AB|²+AB•BC+AD•BA+|AD|²
=AB•BC+AD•BA=AB•BC-AB•AD=AB•(BC-AD)=AB•0=0 （这里的AC BD等均为向量）
所以向量AC⊥向量BD
话说这不是菱形的定义么？
收起
先吐个槽应该是向量AB=b
向量AC=a+b
向量BD=a-b
向量AC*BD=（a+b）（a-b）=a2-b2
因为菱形ABCD
所以AB=AD
所以a的模=b的模
所以AC*BD=（a+b）（a-b）=a2-b2=0
所以AC垂直于BD