一道关于三棱体体积求解的数学题!已知有一个三棱体共四个面,底面为等腰直角三角形,两直角边上的面为90度扇形,这两扇形侧面和底面两两垂直,且两扇形完全一样,即棱体的顶点的射影就是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:49:08
一道关于三棱体体积求解的数学题!已知有一个三棱体共四个面,底面为等腰直角三角形,两直角边上的面为90度扇形,这两扇形侧面和底面两两垂直,且两扇形完全一样,即棱体的顶点的射影就是
一道关于三棱体体积求解的数学题!
已知有一个三棱体共四个面,底面为等腰直角三角形,两直角边上的面为90度扇形,这两扇形侧面和底面两两垂直,且两扇形完全一样,即棱体的顶点的射影就是底面三角形两直角边的交点,底面斜边上的面为弧面形.已知扇形的边(即底面三角形的直角边)的长度为1,求此三棱体的体积(用π表示).
CD边是弧线底面是扇形才是球体的八分之一! 但是CD边是直线!
一道关于三棱体体积求解的数学题!已知有一个三棱体共四个面,底面为等腰直角三角形,两直角边上的面为90度扇形,这两扇形侧面和底面两两垂直,且两扇形完全一样,即棱体的顶点的射影就是
体积是1/3.用积分的方法算的.
如果要求用初等方法,没有找到理想的方法.但是如果效仿高中数学教材上对球的体积公式的证明,可类似得出结果：（事实上正是微积分的思想）
记|AB|=|AC|=|AD|=a.
将AB分成N等份,从A到B各等分点记为D(1),D(2),...,D(N-1)（()里面的数字表示下标）,每段长度为d,同时,将点A改记为D(0),点B改记为D(N).过任意等分点D(i)(1<=i<=N-1)作平行于ACD的平面,所得截面是一个等腰直角三角形,且与△ACD相似.记△ACD面积为S(0),则截面面积
S(i) = S(0)*(a^2-x^2)/(a^2),其中x=|AD(i)|=d*i.
（相似三角形面积比=对应边长之比的平方）
相邻截面之间的所夹的体积V(i)可用如下公式近似计算
V(i)=S(i)*d,其中0<=i<=N-1.
整个几何体的体积V即为所有V(i)之和,即
V=V(0)+V(1)+...+V(N-1).
只要d足够小,即N足够大,则上式求得的体积就足够精确.
现在将各个式子代入V中,化简可得
V=S(0)*[Nd-N(N-1)(2N-1)d^3/(6*a^2)].
由于d很小,故(N-1)d,(2N-1)d分别近似于Nd,2Nd.而Nd=|AB|=a,代入上式,则有
V=2S(0)*a/3.
将a=1,S(0)=1/2*a*a代入公式得 V=1/3.
其实,这个形状可由一个椭圆柱截取而来.一开始的思路是,取CD中点E,AB和E决定的平面截这个几何体得到1/4个椭圆.它将几何体分成对称的两半.沿着这个思路下去,考虑证明三棱锥体积公式的方法（将一个三棱柱分割成三个等体积的三棱锥）,得到了一个错误结果：π/8-1/12.这与1/3十分接近,但是是错误的.是由于一些微小的错误导致的.至于使用初等数学的方法能否严密的得到正确结果,还有待验证.反正可以肯定,1/3一定是精确结果.
具体自己算
我说方法
这个图形是球体积的八分之一
这个图形有点抽象了，把竖直方向的AB画成竖直的，就很容易分辨了
答案是1/8*4/3*π=
π/6
没立体一点的图吗