已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式当x∈闭区间-1,1闭区间
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 18:50:32
已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式当x∈闭区间-1,1闭区间
已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时
已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.
求函数f(x)解析式
当x∈闭区间-1,1闭区间时,求函数f（x）的单调区间以及最大值
已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式当x∈闭区间-1,1闭区间
第一个问题：
∵f（x）＝ax^3＋bx,∴f′（x）＝3ax^2＋b.
∵当x＝－√3/3时,f（x）有极小值为－2√3/9, ∴f′（－√3/3）＝0、 f（－√3/3）＝－2√3/9.
∴3×（－√3/3）^2a＋b＝0、 （－√3/3）^3a＋（－√3/3）b＝－2√3/9,
∴a＋b＝0、 －（√3/9）a－（√3/3）b＝－2√3/9, ∴3a＋3b＝0、 a＋3b＝2,
∴a＝－1、 b＝1.
∴函数的解析式是：f（x）＝－x^3＋x.
第二个问题：
∵f（x）＝－x^3＋x, ∴f′（x）＝－3x^2＋1.
令f′（x）＝－3x^2＋1＞0,得：3x^2＜1, ∴－√3/3＜x＜√3/3.
∴函数的增区间是（－√3/3,√3/3）,减区间是（－1,－√3/3）∪（√3/3,1）.
第三个问题：
显然有：f″（x）＝－6x.
令f′（x）＝－3x^2＋1＝0,得：｜x｜＝√3/3.
∴当x＝√3/3时,f（x）有极大值,且极大值＝－（√3/3）^3＋√3/3＝－√3/9＋√3/3＝2√3/9.
又函数的增区间是（－√3/3,√3/3）,减区间是（－1,－√3/3）∪（√3/3,1）.
∴函数的最大值只能在x＝√3/3、x＝－1中取得. 而f（－1）＝－1×（－1）＋（－1）＝0.
∴在区间［－1,1］上,函数的最大值为 2√3/9.
对原函数求导，得 f'(x)=3ax²+b
由于有极小值 f(-√3/3)=-2√3/9，则 f'(-√3/3)=0
代入原函数与导数，得
a×(-√3/9)+b×(-√3/3)=-2√3/9
3a×(1/3)+b=0
解得
a=-1，b=1
所以 f(x)=-x³+x；
当 x∈[-1，1] 时，
由前述...
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对原函数求导，得 f'(x)=3ax²+b
由于有极小值 f(-√3/3)=-2√3/9，则 f'(-√3/3)=0
代入原函数与导数，得
a×(-√3/9)+b×(-√3/3)=-2√3/9
3a×(1/3)+b=0
解得
a=-1，b=1
所以 f(x)=-x³+x；
当 x∈[-1，1] 时，
由前述可知，f'(x)=-3x²+1
其极值点满足 f'(x)=0，即 x=±√3/3∈[-1，1]
所以，可求得函数 f(x) 在 [-1，-√3/3] 递减，
在 [-√3/3，√3/3] 递增，
在 [√3/3，1] 递减，
即其增区间为 [-√3/3，√3/3] ，
减区间为 [-1，-√3/3] 和 [√3/3，1]，
根据增减性，其最大值只可能在 x=-1 或 x=√3/3 处取得，
而 f(-1)=-2，f(√3/3)=0，
可见，最大值为 f(√3/3)=0。
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