定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且f（-x）= - f（x） ,当x∈（0,1）时,f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）.（1）.求f（x）在[-1,1]上的解析式；（2）.证明f（x）在（0,1）上是减函数；（3）.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 17:26:59
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且f（-x）= - f（x） ,当x∈（0,1）时,f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）.（1）.求f（x）在[-1,1]上的解析式；（2）.证明f（x）在（0,1）上是减函数；（3）.
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且f（-x）= - f（x） ,当x∈（0,1）时,f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）.
（1）.求f（x）在[-1,1]上的解析式；
（2）.证明f（x）在（0,1）上是减函数；
（3）.当λ取何值时,方程f（x）=λ在[-1,1]上有解.
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定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且f（-x）= - f（x） ,当x∈（0,1）时,f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）.（1）.求f（x）在[-1,1]上的解析式；（2）.证明f（x）在（0,1）上是减函数；（3）.
（1）x∈（0,1）时,-x∈（-1,0）,
又f（-x）= - f（x）＝－2的x次幂/（4的x次幂+1),令-x＝t,得x=-t代入
f（-x）＝－2的x次幂/（4的x次幂+1)整理得
f（t）=－2的t次幂/（4的t次幂+1),所以,当x∈（－1,0）时,
f（x）=－2的x次幂/（4的x次幂+1）.
又定义在R上的奇函数有f(0)=0,故x=0时,f(x)=0
由f（x+2）=f（x）,取x=-1代入得f(1)=f(-1),由于已知函数为奇函数,应该有f(-1)=-f(1),故得f(1)=f(-1)＝0
综上得f(x)在[-1,1]上的表达式为分段函数即：
x∈（0,1）时,f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）.
x∈（－1,0）时,f（x）=－2的x次幂/（4的x次幂+1）.
x∈｛－1,0,1｝时,f(x)=0
(2)证明：设0＜x1＜x2＜1,
f(x1)-f(x2)=[2的x1次幂/（4的x1次幂+1）]-[2的x2次幂/（4的x2次幂+1）]
将等式右边通分整理得
f(x1)-f(x2)=[（2的x2次幂－2的x1次幂）×（2的(x1＋x2)次幂-1)]/[(4的x1次幂+1)×(4的x2次幂+1)]
由x1＜x2及指数函数性质可得上式f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2)
故f（x）在（0,1）上是减函数；
（3）当λ＝0时,f（x）=0在[-1,1]上有三个解,即x=-1,0,1
当λ>0时,f（x）=λ,由（1）中的函数表达式得：
2的x次幂/（4的x次幂+1）＝λ,整理得：λ×4的x次幂-2的x次幂+λ=0
即：λ×2的2x次幂-2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得：
△＝1－4×λ的平方≥0,解此不等式得：－1/2≤λ≤1/2,又λ>0,
故0＜λ≤1/2
当λ＜0时,f（x）=λ,由（1）中的函数表达式得：
－2的x次幂/（4的x次幂+1）＝λ,整理得：λ×4的x次幂＋2的x次幂+λ=0
即：λ×2的2x次幂＋2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得：
△＝1－4×λ的平方≥0,解此不等式得：－1/2≤λ≤1/2,又λ＜0,
故－1/2≤λ＜0
综上可知,当－1/2≤λ≤1/2时,方程f（x）=λ在[-1,1]上有解.