圆周角定理怎么证明急
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 11:09:02
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圆周角度数定理的另一种证明方法
圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理,它是解决和圆有关的角的问题的重要依据,这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法,这种证明方法主要用的是外角方面的知识,老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明,而很少去探讨和思考别的证明方法,下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法,供大家参考．
求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
已知：⊙O中,∠AOB和∠ACB分别是 所对的圆心角和圆周角．
求证：∠AOB=2∠ACB
证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时,如图(1),证明方法同课本,这里不在赘述．
当圆心O在∠ACB的外部时,如图(2)．联结OC．
∵OC=OB,OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)
∵∠AOC-∠BOC=∠AOB,∠OCB -∠OCA=∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB；
当圆心O在∠ACB的内部时,如图(3)．联结OC．
∵OC=OB,OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°
∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC
∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)
∵∠OCA+∠OCB =∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB ；
综上所述,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半