求证sin10度,cos10度,tan10度为无理数?求教

求证sin10度,cos10度,tan10度为无理数?求教
求证sin10度,cos10度,tan10度为无理数?求教

求证sin10度,cos10度,tan10度为无理数?求教
sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3
cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα
tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2)
利用三倍角公式以及反正法
证明：∵sin30°=3sin10°-4(sin10°)^3=1/2
设sin10°=x,则3x-4x^3=1/2,即：8x^3-6x+1=0
假设x为有理数,即x=p/q(其中p、q为整数且互质)
则8(p/q)^3-6(p/q)+1=0,∴8p^3-6pq^2+q^3=0
∴q^3=2p(3q^2-4p^2)
∴p能整除q^3
而另一方面,(p,q)=1,则(p,q^3)=1,∴结合p|q^3可得：p=1
∴8-6q^2+q^3=0,∴8=q^2(6-q)
∴6-q>0,且q^2|8,∴q^2=1,或4,∴q=1或2,∴x=1或1/2
带入方程8x^3-6x+1=0中发现均不成立,所以产生矛盾,故假设不成立!
即sin10°为无理数!
cos10°与tan10°可以使用同样的方法去证明,