(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.(2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-

(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.(2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-
(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.
(2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明
(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=( )
(B)并用数学归纳法证明之

(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.(2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-
1.当n=1时,S1=a1
所以a1=2-a1
a1=1
当n=2时,S2=a1+a2==1+a2=4-a2,
a2=3/2,
S2=1+3/2=5/2
当n=3时,S3=S2+a3=5/2+a3=6-a3
a3=7/4
S3=5/2+7/4=17/4
当n=4时,S4=S3+a4=17/4=8-a4
a4=15/8
猜想an=(2^n-1)/2^(n-1)
证明,当n=1时,a1=（2-1）/1=1,成立
假设当n=k时,等式成立
即ak=(2^k-1)/2^(k-1)
Sk=2k-(2^k-1)/2^(k-1)
则当n=k+1时
有左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+[2^(k+1)-1]/2^[(k+1)-1]
=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+[2^(k+1)-1]/2^k
=2k-(2^k-1)/2^(k-1)+2-1/2^k
=2(k+1)-(2^k-1)/2^(k-1)-(1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-(2^k-1+1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-(2^k-1/2)/2^(k-1)
=2(k+1)-[2^(k+1)-1]/2^k
右边=2（k+1）-a（k+1）=2（k+1）-[2^(k+1)-1]/2^k
左边=右边
当n=k+1时等式成立
2.当n=1时,S1=a1
有a1=0.5（a1+1/a1）
a1²=0.5a1²+0.5
0.5a1²=0.5
a1²=1
a1=1或a1=-1（舍去）
S1=a1=1
当n=2时,S2=S1+a2=1+a2=0.5（a2+1/a2）
a2+a2²=0.5a2+0.5
0.5a2²+a2-0.5=0
a2²+2a2-1=0
a2=-2+根号（4+4）/2=-1+根号2
S2=根号2
当n=3时,S3=S2+a3=根号2+a3=0.5（a3+1/a3）
根号2a3+a3²=0.5a3²+0.5
根号2a3+0.5a3²-0.5=0
2根号2a3+a3²-1=0
a3=-2根号2+根号（8+4）/2=-根号2+根号3
猜想an=-根号（n-1）+根号n
证明：当n=1时,a1=1,成立
假设当n=k时,等式成立
有ak=-根号（k-1）+根号k
Sk=0.5[-根号（k-1）+根号k+1/（=-根号（k-1）+根号k）]
则当n=k+1时
左边=S（k+1）=Sk+a（k+1）
=0.5{-根号（k-1）+根号k+1/[（-根号（k-1）+根号k）]}+[-根号k+根号(k+1)]
=0.5{-根号（k-1）+根号k+[根号（k-1）+根号k]}+[-根号k+根号(k+1)]
=0.5（2根号k）-根号k+根号（k+1）
=根号k-根号k+根号（k+1）
=根号（k+1）
右边=0.5(an+1/an),
=0.5{[-根号k+根号(k+1)]+1/[-根号k+根号(k+1)]}
==0.5{-根号k+根号(k+1)+[根号k+根号(k+1)]}
=0.5[2根号（k+1）]
=根号（k+1）
左边=右边
等式成立
3.=（n+1）/2n
证明：当n=2时,有左边=（1-1/4）=3/4
右边=（2+1）/2*2=3/4
成立
假设当n=k时,等式成立,
有(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=(k+1）/2k
则当n=k+1时,
左边=（k+1）/2k*[1-1/(k+1)²]
=(k+1)/2k*[(k+1)²-1]/(k+1)²
=(k+1)/2k*(k+1-1)(k+1+1)/(k+1)²
=(k+1)/2k*k(k+2)/(k+1)²
=（k+2）/2（k+1）
右边=（k+1+1）/2（k+1）
=（k+2）/2（k+1）
左边=右边
所以等式成立