平面n条直线最可将平面分成1+n(n+1)/2个部分,则空间内n个平面最多可将空间分成----------个部分?thanks
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 07:27:55
平面n条直线最可将平面分成1+n(n+1)/2个部分,则空间内n个平面最多可将空间分成----------个部分?thanks
平面n条直线最可将平面分成1+n(n+1)/2个部分,则空间内n个平面最多可将空间分成----------个部分?
thanks
平面n条直线最可将平面分成1+n(n+1)/2个部分,则空间内n个平面最多可将空间分成----------个部分?thanks
假设n个平面可把空间分成f（n）部分,再加上第n+1个平面后可把空间分成f（n+1）部分
∵第n+1个平面与前n个平面都相交
∴第n+1个平面内有n交线,且这n条直线最多可把第n+1个平面分成1+n(n+1)/2部分
又∵平面的每一部分可把它原来所在的空间分成2部分
∴f（n+1）=f（n）+1+n(n+1)/2
∴f(n+1)-f(n)=1+n(n+1)/2=1+n^2/2+n/2
∴f(2)-f(1)=1+1^2/2+1/2
f(3)-f(2)=1+2^2/2+2/2
…
f(n)-f(n-1)=1+(n-1)^2/2+(n-1)/2
上式相加得：f(n)-f(1)=(n-1)+1/2×n(n+1)(2n+1)/6+1/2×(n-1)n/2
=(n-1)+2n^3+3n^2+n/12+(n^2-n)/4=n^3+5n/6-1
∴f(n)=(n^3+5n)/6+1
=1/6(n3+5n+6)
故答案为：1/6(n3+5n+6)
(n+1)n/3
(n的三次方+5n+6)/6
假设n个平面可把空间分成f（n）部分，再加上第n+1个平面后可把空间分成f（n+1）部分
∵第n+1个平面与前n个平面都相交
∴第n+1个平面内有n交线，且这n条直线最多可把第n+1个平面分成1+n(n+1)/2部分
又∵平面的每一部分可把它原来所在的空间分成2部分
∴f（n+1）=f（n）+1+n(n+1)/2
∴f(n+1)-f(n)=1+n(n+1)/...
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假设n个平面可把空间分成f（n）部分，再加上第n+1个平面后可把空间分成f（n+1）部分
∵第n+1个平面与前n个平面都相交
∴第n+1个平面内有n交线，且这n条直线最多可把第n+1个平面分成1+n(n+1)/2部分
又∵平面的每一部分可把它原来所在的空间分成2部分
∴f（n+1）=f（n）+1+n(n+1)/2
∴f(n+1)-f(n)=1+n(n+1)/2=1+n^2/2+n/2
∴f(2)-f(1)=1+1^2/2+1/2
f(3)-f(2)=1+2^2/2+2/2
…
f(n)-f(n-1)=1+(n-1)^2/2+(n-1)/2
上式相加得：f(n)-f(1)=(n-1)+1/2×n(n+1)(2n+1)/6+1/2×(n-1)n/2
=(n-1)+2n^3+3n^2+n/12+(n^2-n)/4=n^3+5n/6-1
∴f(n)=(n^3+5n)/6+1
=1/6(n3+5n+6)
故答案为：1/6(n3+5n+6)
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