已知:△ACD与△BCE都为等边三角形.求证:PA+PC=PD.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 11:31:32
已知:△ACD与△BCE都为等边三角形.求证:PA+PC=PD.
已知:△ACD与△BCE都为等边三角形.
求证:PA+PC=PD.
已知:△ACD与△BCE都为等边三角形.求证:PA+PC=PD.
CD=CA,CB=CE,∠DCB=60°=∠ACE
∴△DCB≌△ACE,∴∠CDB=∠CAE
∴A,D,C,P四点共圆.下面可用两种方法来做
(1)可用代数三角函数来做
记ADCP外接圆半径为R,∠ADP=a,则∠PCA=a
则PA=2Rsina,PC=2Rsin(60°-a),PD=2Rsin(60°+a)
∴PA+PC=2R(sina+sin(60°-a))
=2R(sina+sin60°cosa-sinacos60°)
=2R(sin60°cosa+sinacos60°)
=2Rsin(60°+a)=PD
(2)也可以用纯几何来做
延长CP至点F,使得PF=PA,连接FA
则∠APF=180°-∠CPA=60°,∴PA=PF=AF
又AD=AC,∠DAP=60°+∠CAP=∠CAF
∴△DAP≌△CAF,即DP=CF=CP+PF=CP+PA
图太小
DP上取点F,使DF=AP
则三角形DFC与APC全等
于是FC=PC,角FCD=角PCA
所以FCP是等腰三角形
并且顶角FCP=FCA+PCA=FCA+FCD=60度
顶角60度的等腰三角形必然是等边三角形
故PF=PC
PA+PC=DF+PF=PD,证毕。我想请问为什么△DFC与△APC全等?由于三角形DBC和AEC全等,则角CDB=C...
全部展开
DP上取点F,使DF=AP
则三角形DFC与APC全等
于是FC=PC,角FCD=角PCA
所以FCP是等腰三角形
并且顶角FCP=FCA+PCA=FCA+FCD=60度
顶角60度的等腰三角形必然是等边三角形
故PF=PC
PA+PC=DF+PF=PD,证毕。
收起