设抛物线C:y^2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 12:31:38
设抛物线C:y^2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()
设抛物线C:y^2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()
设抛物线C:y^2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()
抛物线C的焦点(1,0),准线为 x=-1；
设直线方程为 y=k(x-1),代入C方程：k²(x-1)²=4x,即 k²x²-(2k²+4)x+k²=0；
设直线与抛物线交点横坐标 xa、xb,则 xa+xb=2 +4/k²,xa*xb=1；
由抛物线特性可知,|AF|=xa+1,|BF|=xb+1；
所以 xa+1=3(xb+1),xa+xb=4xb+2=2 +4/k²；故 xb=1/k²,xa=3xb+2=3/k² +2；
xa*xb=(1/k²)*(3/k² +2)=1；解得 1/k²=1/3（负根舍去）,k=±√3；
直线 l 的方程为：y=±√3(x-1)；
y=2(x-1)
y=-2(x-1)
不妨设直线的方程为：y=k(x-2) （当直线斜率存在时） 由|AF|=3|BF|知：直线斜率一定存在 联立直线方程和抛物线方程得： 得方程：(k^2)(x^2)-[4(k^2)+4]x+4(k^2)=0 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 由韦达定理可得：x1+x2=4+[4/(k^2)] x1*x2=4， 又|AF|=3|BF|，即有向量AF=3倍向量FB，即有：x1+3(x2)=4 又知x1+x2=4+[4/(k^2)]，故有：x2=(-2)/(k^2），x1=4+[6/(k^2)] 在以上两式的基础上，由x1*x2=4得：k^2=3 即有k=正负根号3， 所以直线的方程为：|y=(±√3 )(x-2) 解答完毕。谢谢