是否存在质数p、q,使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理数根
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 11:58:34
是否存在质数p、q,使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理数根
是否存在质数p、q,使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理数根
是否存在质数p、q,使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理数根
假定存在质数p,q,
(-q)^2-4*p*p=q^2-4*p^2>=0 ,方程px2-q+p=0的有有理数根
=>存在正整数m^2=q^2-4*p^2
=>4*p^2=q^2-m^2
=>只要在直角三角形中,三边关系为斜边q,直角边2*p和m就行,且得满足p,q为质数.
例如：(p,q)=(2,5)
假定存在质数p、q，使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理数根，所以一定有q^2-4p^2=n^2，n是某一个自然数，也就是q^2=(2p)^2+n^2，
所以，2p，n，q必须是勾股数。显然q不能是2，因为p>1,右侧4p^2＋n^2>4
因此，q必然是奇数，于是由勾股数结构，必然有一个奇数一个偶数a，b，使得
2p=2ab,n=a^2-b^2,q=a^2+...
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假定存在质数p、q，使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理数根，所以一定有q^2-4p^2=n^2，n是某一个自然数，也就是q^2=(2p)^2+n^2，
所以，2p，n，q必须是勾股数。显然q不能是2，因为p>1,右侧4p^2＋n^2>4
因此，q必然是奇数，于是由勾股数结构，必然有一个奇数一个偶数a，b，使得
2p=2ab,n=a^2-b^2,q=a^2+b^2，所以p=ab，a，b一奇数一偶数，所以只有p=2,因此ab＝2，所以a=2,b=1，因此q=5
结论：存在，而且只有一组质数，p=2,q=5，使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理数根
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存在
证明：因为方程px^2+qx+p=0,且方程有有理数解
所以q^2-4p^2为平方数
设q^2-4p^2=k^2
q^2-k^2=4p^2
(q-k)(q+k)=4p^2
因为p,q为质数，且k>0
所以q+k>q-k,p^2>=4
可得出一下几组解
(1)q-k=1,q+k=4p^2
相加得：2q=(1+4p^...
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存在
证明：因为方程px^2+qx+p=0,且方程有有理数解
所以q^2-4p^2为平方数
设q^2-4p^2=k^2
q^2-k^2=4p^2
(q-k)(q+k)=4p^2
因为p,q为质数，且k>0
所以q+k>q-k,p^2>=4
可得出一下几组解
(1)q-k=1,q+k=4p^2
相加得：2q=(1+4p^2)
q=(4p^2+1)/2
因为4p^2为偶数
所以4p^2+1为奇数
所以q不是整数
所以不成立
(2)q-k=2,q+k=2p^2
所以q=p^2+1
因为质数除2以外都是奇数
所以当质数p>2
所以p^2为奇数
所以p^2+1为偶数且大于2，即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符
所以有且只有p=2时
q=2^2+1=5
所以有一组解:p=2,q=5
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