17(福建)南平已知：如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA＝m , PB＝n . ⑴当n＝4时,求m的值；⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 05:42:21
17(福建)南平已知：如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA＝m , PB＝n . ⑴当n＝4时,求m的值；⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,
17(福建)南平已知：如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA＝m , PB＝n . ⑴当n＝4时,求m的值；⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,请求出此时m的值；若不存在,请说明理由； ⑶当 m 为何值时,⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形?并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个?（图②、图③供解题时选用）
17(福建)南平已知：如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA＝m , PB＝n . ⑴当n＝4时,求m的值；⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,
（1）解法一：连接OB．
∵PB切⊙O于B,
∴∠OBP=90°,
∴PO^2=PB^2+OB^2,
∵PO=2+m,PB=n,OB=2,
∴（2+m）2=n2+2^2 m^2+4m=n2；
n=4时,解,得：
m1=-2√5-2（舍去）,m2=2√5-2．
∴m的值为 2√5-2．
解法二：延长PO交⊙O于Q,PAQ为⊙O割线．
又∵PB切⊙O于B,
∴PB2=PA•PQ,（1分）
∵PB=n,PA=m,PO=m+4,
∴n2=m2+4m,（3分）
当n=4时,解得 m1=-2√5-2（舍去）,m2=2√5-2,
∴m的值为 25-2．（5分）
（2）存在点C,使△PBC为等边三角形；（6分）
当∠OPB=30°时,过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点,
∴PB=PC,∠OPB=∠OPC,
∴∠BPC=60°,∴△PBC为等边三角形；（7分）
连接OB,∠OBP=90°,OB=2,得OP=4,（8分）
∴m=PA=OP-OA=2．（9分）
（3）如图,设EF为线段PB的垂直平分线,垂足为D,当EF与⊙O相切于点M时,M符合要求；（10分）
连接OB、OM,易得四边形OMDB为正方形,
∴BD=DP=OM=2,
∴n=PB=4．（12分）
由（1）得n=4时,m= 2√5-2,
∴当m= 2√5-2时,⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形,（13分）
此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形．（14分）
（这3点分别是M,M1,M2．其中M是PB中垂线与⊙O的切点,M1是延长BO与⊙O的交点,M2是点B关于OP的对称点）
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