在一个圆面积内 任取2点连线 长度大于半径的概率是多少注意是圆内不是圆上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 13:04:19
在一个圆面积内 任取2点连线 长度大于半径的概率是多少注意是圆内不是圆上
在一个圆面积内 任取2点连线 长度大于半径的概率是多少
注意是圆内不是圆上
在一个圆面积内 任取2点连线 长度大于半径的概率是多少注意是圆内不是圆上
用的重积分,算得0.45大概,麻烦死了
这个联合密度的分布更是魔鬼积分.
无限接近50%，因为如果这个线段的一个顶点是圆心的话，那么就小于半径，其他的线段大于或小于半径的概率是一样的，当然还有一部分事等于半径的，这个概率也很小，无限趋近于0
假设圆半径为r
所取第一点距离圆心距离为L
那么以这个点为中心画一个半径同样为r的圆
算出两圆交叉的部分的面积假设为s1(如何计算在此就不一一累述）
圆的面积为s
那么所取的两点长度大于半径的概率为（s-s1）/s
从A点到圆心的连线两侧圆心角不大于60°所对应的弧上任意一点，与A链接的弦长都不超过半径。
符合条件的圆心角60°×2，一周360°
所以，概率为60°×2÷360°=1/3
如图所示，不妨设圆半径为1（按单位圆考虑），圆心为O，圆内任取一点A，设|AO|=r。以A为圆心单位长度为半径另外做一个圆。两圆相交部分记为S_∩，圆O在圆A外面的区域记为S1。 在圆内另外取一点B（未在图上标出），欲使|AB|>R=1，需且只需点B落在区域S1内。 设|AO|=r的概率密度f1（当A在以O为圆心r为半径的一个小圆上时，都有|AO|=r，但概率为0，概率密度为f1=2πr/(πR^2)=2r，R=1）。 现求B点落在区域S1内的概率（等价于求S1的面积，此处把区域S1的面积仍旧记为S1）P2。 设圆A与圆O交于C、D两点，∠COD=2θ，其中cos θ=(r/2)/R=r/2，θ=arccos(r/2)。 两圆相交部分的面积可以看成两个扇形（分别以O、A为中心，张角2θ）的面积之和减去两个扇形重叠部分（一个菱形）的面积。 一个张角2θ的扇形面积为：2θ/(2π)*πR^2=θ； 菱形的面积为对角线长乘积的一般：r*2√[R^2-(r/2)^2]/2=r*√[4-r^2]/2， 故S_∩的面积为：2*θ-r*√[4-r^2]/2； S1的面积为：πR^2-[2*θ-r*√[4-r^2]/2]=π-2θ+r*√[4-r^2]/2； 点B落在区域S1的概率为：P2=S1/(πR^2)=1-2θ/π+r*√[4-r^2]/(2π)； 故两点距离大于半径的概率为： P=∫P2*f1*dr （r=0 .. 1） =∫[1-2θ/π+r*√[4-r^2]/(2π)]*2r*dr （r=0 .. 1） =∫[1-2*arccos(r/2)/π+r*√[4-r^2]/(2π)]*2r*dr （r=0 .. 1）（θ=arccos(r/2)） =∫{2*r-4*r*arccos(r/2)/π+r^2*√[4-r^2]/π}*dr （r=0 .. 1） 通过数值积分算出结果为0.4134966716。 （在mpale中计算的命令为：evalf(Int(2*r-4*r*arccos((1/2)*r)/Pi+r^2*sqrt(4-r^2)/Pi, r = 0 .. 1))） 直接对被积函数积分的结果为：r^2-(4*((1/2)*r^2*arccos((1/2)*r)-(1/2)*r*sqrt(1-(1/4)*r^2)+arcsin((1/2)*r)))/Pi+(-(1/4)*r*(4-r^2)^(3/2)+(1/2)*r*sqrt(4-r^2)+2*arcsin((1/2)*r))/Pi。